احتمال الحوادث المركبة
انظر إلى أعلى الصفحة، نبدأ بدرس احتمال الحوادث المركبة. فكرة الدرس تعتمد على إيجاد احتمال حوادث مستقلة وغير مستقلة. في فقرة استعد، لدينا جدول يوضح أنواع قطع الملابس و لون الجوارب المجانية. لاحظ أن اختيار جوارب لا يتأثر بنوع القطعة، و هذا ما نسميه بالحوادث المستقلة. قاعدة احتمال الحوادث المستقلة تقول: نضرب احتمال الحادثة الأولى في احتمال الحادثة الثانية، أي . في المثال الأول، تم اختيار بطاقة من مجموعة بطاقات وتدوير قرص دوار، وبما أن الحادثتين مستقلتين، نجد احتمال كل حادثة لوحدها ثم نضرب الكسرين معا. حاول الآن حل فقرة تحقق من فهمك مستخدما نفس الطريقة.
يقوم درس احتمال الحوادث المركبة على إيجاد احتمال وقوع حادثتين أو أكثر معاً. وتنقسم الحوادث المركبة إلى نوعين رئيسيين: حوادث مستقلة، وهي التي لا يؤثر فيها وقوع الححادثة الأولى على وقوع الحادثة الثانية، وحوادث غير مستقلة، وهي التي يؤثر فيها وقوع الحادثة الأولى في نتيجة الحادثة الثانية. لحساب احتمال وقوع حادثتين مستقلتين معاً، نضرب احتمال وقوع الحادثة الأولى في احتمال وقوع الحادثة الثانية. أما لحساب احتمال وقوع حادثتين غير مستقلتين، فنضرب احتمال وقوع الحادثة الأولى في احتمال وقوع الحادثة الثانية بعد حصول الحادثة الأولى. على سبيل المثال، عند سحب بطاقة من مجموعة بطاقات دون إرجاعها ثم سحب بطاقة أخرى، تكون الحادثتان غير مستقلتين لأن العدد الكلي للبطاقات يتغير في السحب الثاني.
الفكرة الأساسية
تعتمد فكرة الدرس على حساب احتمال وقوع حدثين أو أكثر معاً، وهو ما يسمى بالحادثة المركبة. انظر إلى الحوادث من حولك: عندما ترمي مكعب أرقام وتسحب بطاقة في نفس الوقت، فإنك تجري حادثة مركبة. هذه الحوادث تنقسم إلى نوعين: حوادث مستقلة لا يؤثر فيها الحدث الأول على الحدث الثاني، وحوادث غير مستقلة يتغير فيها احتمال الحدث الثاني بناء على ما حدث في الحدث الأول.
الشرح
عندما تريد إيجاد احتمال وقوع حادثتين مستقلتين معاً، فإن القاعدة تقول: اضرب احتمال الحادثة الأولى في احتمال الحادثة الثانية، ونكتب ذلك بالرموز: . خذ مثلاً رمي قطعتي نقد أو تدوير قرص مرتين؛ هنا لا تؤثر الرمية الأولى على الرمية الثانية أبداً، لذا فهما حادثتان مستقلتان. أما إذا كانت الحوادث غير مستقلة، فإن وقوع الحادثة الأولى يؤثر في ناتج الحادثة الأخرى. في هذه الحالة، يكون احتمال وقوعهما معاً هو حاصل ضرب احتمال الحادثة الأولى في احتمال الحادثة الثانية بعد حصول الحادثة الأولى، ونكتبه بالرموز: . انظر إلى سحب البطاقات دون إرجاعها أو سحب الفواكه من السلة دون إرجاع الحبة المسحوبة؛ هنا ينقص العدد الكلي في المرة الثانية، فتتغير النسبة.
مثال محلول خطوة بخطوة
لدينا سلة فيها 4 برتقالات، و7 موزات، و5 تفاحات. اختار مازن حبة فاكهة عشوائياً، واختار محمد أيضاً حبة فاكهة عشوائياً دون إرجاع حبة الفاكهة الأولى. ما هو احتمال أن تكون الحبتان تفاحاً؟ الخطوة الأولى: نجد احتمال سحب تفاحة في المرة الأولى. عدد التفاحات هو 5، والعدد الكلي لحبات الفاكهة هو 16. إذن: ح (الحبة الأولى تفاحة) = rac{5}{16}. الخطوة الثانية: نجد احتمال سحب تفاحة في المرة الثانية بعد أخذ حبة تفاحة في المرة الأولى. لقد أصبح عدد التفاحات 4، وأصبح العدد الكلي لحبات الفاكهة 15. إذن: ح (الحبة الثانية تفاحة) = rac{4}{15}. الخطوة الثالثة: نضرب الاحتمالين معاً لأن الحادثتين غير مستقلتين: rac{5}{16} imes rac{4}{15} = rac{1}{12}.
أخطاء شائعة
من الخطأ الشائع في الحوادث غير المستقلة نسيان تغيير العدد الكلي للنواتج في السحب الثاني؛ فالذي يسحب شيئاً دون إرجاعه يجب عليه أن ينقص واحدًا من العدد الكلي ومن عدد المطلوب في المرة الثانية. ومن الخطأ أيضاً جمع الاحتمالات بدلاً من ضربها عند البحث عن احتمال وقوع الحادثتين معاً.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: سحبت بطاقة من بطاقات مرقمة من 1 إلى 9 دون إرجاعها، ثم سحبت بطاقة أخرى. ما احتمال أن يكون العريضان زوجيين؟ الإجابة: البطاقات الزوجية هي 2، 4، 6، 8 (أي 4 بطاقات من أصل 9). احتمال السحب الأول زوجي هو rac{4}{9}. في السحب الثاني يبقى لدينا 3 بطاقات زوجية من أصل 8 بطاقات كلية، فيكون الاحتمال rac{3}{8}. نضرب الاحتمالين: rac{4}{9} imes rac{3}{8} = rac{1}{6}. السؤال الثاني: إذا كانت فرصة هطول الأمطار يوم الاثنين هي 80 بالمئة، وفرصة هطولها يوم الثلاثاء هي 30 بالمئة، فما احتمال هطول الأمطار يومي الإثنين والثلاثاء معاً؟ افترض أن الحادثتين مستقلتان. الإجابة: نحول النسب إلى كسور أو نضرب النسب المئوية كالتالي: 80 بالمئة تعني rac{80}{100} أو 0.8، و30 بالمئة تعني rac{30}{100} أو 0.3. نضرب الاحتمالين: أو 24 بالمئة.