عد النواتج
انظر إلى الصفحة، وتحديداً عنوان الدرس: عد النواتج. في قسم استعد، تجد مشكلة المطعم، حيث يُطلب منك معرفة عدد اختيارات المقبلات والطبق الرئيسي والحلوى، ثم كتابة قائمة بجميع الوجبات المختلفة. تذكّر أن الناتج هو أي خيار ممكن للتجربة. انظر إلى الرسم الشجري في المثال: يبدأ من المقبلات، ثم يتفرع لكل طبق رئيسي، ثم لكل حلوى، لتخرج بالنواتج الاثني عشر. في سؤال تحقق من فهمك، عليك رسم رسم شجري جديد لتحديد عدد النواتج عند إلقاء قطعة نقدية مرتين، فابدأ برسم فرعي الرمية الأولى ثم تفرعات الرمية الثانية.
يقوم هذا الدرس على إيجاد العدد الكلي للنواتج الممكنة لتجربة ما بطريقتين رئيسيتين: الأولى هي الرسم الشجري الذي يوضح جميع الخيارات بشكل منظم ومفصل، والثانية هي مبدأ العد الأساسي الذي يعتمد على ضرب عدد النواتج لكل خطوة في الأخرى مباشرة للحصول على الناتج الكلي دون الحاجة لكتابة القائمة كاملة. فمثلاً لو كان لديك ٣ خيارات للطبق الرئيسي وخياران للحلوى، فإن عدد الوجبات المختلفة هو ٣ ضرب ٢ ويساوي ٦ نواتج ممكنة. كما يتعلم الطالب حساب احتمال وقوع حادثة معينة بقسمة عدد نواتجها على العدد الكلي للنواتج.
الفكرة الأساسية
تعتمد فكرة الدرس على إيجاد جميع النواتج الممكنة لتجربة ما بطرق منظمة، وحساب الاحتمالات بناءً على ذلك، إما برسم جميع الخيارات خطوة بخطوة أو بضرب أعداد الخيارات ببعضها.
الشرح
الناتج هو أي خيار ممكن لتجربة ما، ومجموعة كل النواتج تسمى فضاء العينة. لمعرفة عدد هذه النواتج، تستطيع استخدام الرسم الشجري لتفريغ الخيارات بشكل متسلسل، أو استخدام مبدأ العد الأساسي الذي ينص على أنه إذا كان عدد النواتج الممكنة للحادثة الأولى هو س، وللحادثة الثانية هو ص، فإن عدد النواتج الممكنة للحادثة الأولى متبوعة بالحادثة الثانية هو س ضرب ص. ولحساب احتمال حادثة عشوائية ذات نواتج متساوية، تقسم عدد نواتج هذه الحادثة على العدد الكلي للنواتج.
مثال محلول خطوة بخطوة
إذا كان جدول يوم الإثنين يتضمن مواد: الرياضيات، والعلوم، والدراسات الاجتماعية، والدراسات الإسلامية، والتربية البدنية، ولغتي، واللغة الإنجليزية، فما احتمال أن تكون الحصص الثلاث الأولى هي الرياضيات، والتربية البدنية، والدراسات الاجتماعية بالترتيب؟ الخطوة الأولى: أوجد عدد النواتج الممكنة لاختيار 3 حصص من بين 7 حصص متوافرة باستخدام مبدأ العد الأساسي: 7 ضرب 6 ضرب 5 يساوي 210 نواتج ممكنة. الخطوة الثانية: لاحظ أن فرصة وقوع هذا الترتيب المحدّد هي فرصة واحدة فقط. الخطوة الثالثة: احسب الاحتمال بكتابة النسبة: 1 على 210، والتي تساوي تقريباً 0.005 أو 0.5 بالمئة.
أخطاء شائعة
خلط الترتيب في مسائل مبدأ العد عندما يكون الترتيب مهماً. نسيان إعادة ضرب جميع المراحل في بعضها عند زيادة عدد الخيارات. الخطأ في تحديد عدد النواتج الكلي لفضاء العينة عند كتابة الاحتمال في صورة كسر.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: يقدم أحد المطاعم 3 أصناف من الطعام بخمسة أنواع من التوابل، وهذه الأصناف قد تكون باللحم أو بدونه. فما عدد خيارات الطعام الممكنة؟ الإجابة: 3 ضرب 5 ضرب 2 يساوي 30 خياراً. السؤال الثاني: ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين هو 12 عند رمي مكعبي أرقام من 1 إلى 6؟ الإجابة: الناتج الممكن الوحيد للحصول على مجموع 12 هو ظهور الرقم 6 على المكعب الأول و6 على المكعب الثاني من أصل 36 ناتجاً كلياً، فيكون الاحتمال هو 1 على 36.