مقاييس التشتت

تقوم مقاييس التشتت على وصف مدى انتشار البيانات حول القيم المتوسطة. وأهمها المدى الربيعي الذي يعتمد على تقسيم البيانات إلى أربعة أجزاء متساوية باستخدام الوسيط والربيعين الأدنى والأعلى. لنفترض أن لدينا أعدادا مرتبة، فإن الوسيط يقسمها نصفين، ووسيط النصف الأدنى هو الربيع الأدنى، ووسيط النصف الأعلى هو الربيع الأعلى. المدى الربيعي هو الفرق بين الربيع الأعلى والربيع الأدنى، وهو يصف تشتت المنتصف. كما نستخدم المدى الربيعي لتحديد القيم المتطرفة عبر معرفة القيم التي تقل كثيرا أو تزيد كثيرا عن الوسيط بمقدار يتجاوز مرة ونصف المدى الربيعي.

الفكرة الأساسية

تستخدم مقاييس التشتت لوصف مدى انتشار البيانات حول القيم المتوسطة. يعتمد المدى الربيعي على تقسيم البيانات إلى أربعة أجزاء متساوية لتحديد مدى تشتت المنتصف.

الشرح

نبدأ بترتيب البيانات تصاعديا ثم نجد الوسيط الذي يقسم البيانات إلى نصفين: نصف أدنى ونصف أعلى. بعد ذلك نجد وسيط النصف الأدنى ويسمى الربيع الأدنى، ووسيط النصف الأعلى ويسمى الربيع الأعلى. المدى الربيعي هو الفرق بين الربيع الأعلى والربيع الأدنى. كما نستعمل المدى الربيعي لكشف القيم المتطرفة، حيث تعد القيمة متطرفة إذا قلّت عن المقدار (الربيع الأدنى ناقص $1,5$ ضرب المدى الربيعي) أو زادت على المقدار (الربيع الأعلى زائد $1,5$ ضرب المدى الربيعي).

مثال محلول خطوة بخطوة

لدينا مجموعة البيانات التالية: $20, 24, 41, 85, 85, 123, 139, 204$. الخطوة الأولى: نجد المدى بطرح أصغر قيمة من أكبر قيمة: $204 - 20 = 184$. الخطوة الثانية: نجد الوسيط وهو يقع بين $85$ و$85$ فيكون الوسيط هو $85$. الخطوة الثالثة: نجد الربيع الأدنى وهو وسيط النصف الأدنى ويساوي $32,5$، والربيع الأعلى وهو وسيط النصف الأعلى ويساوي $131$. الخطوة الرابعة: نجد المدى الربيعي بطرح الربيع الأدنى من الربيع الأعلى: $131 - 32,5 = 98,5$.

أخطاء شائعة

نسيان ترتيب البيانات تصاعديا قبل حساب الوسيط والربيعين الأدنى والأعلى. خطأ آخر هو حساب المدى الربيعي بجمع الربيعين بدلا من إيجاد الفرق بينهما.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أجد المدى والوسيط والربيعين للأعداد $18, 310, 330, 711, 822, 2240$. الإجابة الأولى: المدى هو $2222$، والوسيط هو $520.5$، والربيع الأدنى هو $330$، والربيع الأعلى هو $822$. السؤال الثاني: كيف نعرف أن قيمة ما في مجموعة بيانات هي قيمة متطرفة؟ الإجابة الثانية: تكون القيمة متطرفة إذا كانت تقل عن (الربيع الأدنى ناقص $1,5$ ضرب المدى الربيعي) أو تزيد على (الربيع الأعلى زائد $1,5$ ضرب المدى الربيعي).