مقاييس النزعة المركزية والمدى
انظر إلى الجدول المجاور لميداليات دول الألعاب الأولمبية. لحساب المتوسط الحسابي، اجمع جميع القيم في عمود الميداليات الفضية مثلاً، ثم اقسم الناتج على عدد الدول وهو خمس دول، تماماً كما توزع مجموع درجاتك على عدد موادك المدرسية لتجد معدلك. أما الوسيط، فرتّب القيم تصاعدياً من الأصغر إلى الأكبر، فالعدد الذي يقع في المنتصف تماماً هو الوسيط. إن وجدنا عددين في المنتصف، فنجمعهم ونقسمهم على اثنين. والمنوال هو القيمة الأكثر تكراراً بين القيم. وأما المدى فهو الفرق بين أكبر قيمة وأصغرها، وهو يخبرنا عن مدى تشتت البيانات وانتشارها.
مقاييس النزعة المركزية والمدى هي أدوات رياضية نستخدمها لوصف وتلخيص مجموعة من البيانات بمعرفة القيم التي تتجمع حولها أو مدى تشتتها. المتوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوماً على عددها. الوسيط هو القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً. المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً بين البيانات. أما المدى فهو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في المجموعة. مثلاً، لو كانت درجات خمسة طلاب في اختبار هي ٧٠، ٨٠، ٨٥، ٩٠، ٩٠، فإن مجموعها هو ٤٢٥، ومتوسطها الحسابي يساوي ٤٢٥ مقسوماً على ٥ أي ٨٥، بينما الوسيط هو ٨٥، والمنوال هو ٩٠ لأنه الأكثر تكراراً، والمدى هو الفرق بين ٩٠ و٧٠ أي ٢٠.
الفكرة الأساسية
نحتاج أحياناً إلى وصف مجموعة ضخمة من البيانات برقم واحد يعبر عن مركزها أو يوضح مدى تشتتها، وهنا يأتي دور مقاييس النزعة المركزية والمدى لتلخيص هذه الأرقام بطريقة واضحة.
الشرح
تتكون هذه المقاييس من أربعة عناصر رئيسية: ١. المتوسط الحسابي: نجمع كل القيم الموجودة في المجموعة، ثم نقسم الناتج على عدد هذه القيم. ٢. الوسيط: نرتب الأرقام تصاعدياً أو تنازلياً، فالقيمة الواقعة في المنتصف تماماً هي الوسيط. وإذا كان عدد القيم زوجياً وليس في المنتصف قيمة واحدة، فنأخذ العددين المتوسطين ونحسب لهما المتوسط الحسابي. ٣. المنوال: هو القيمة أو القيم التي تظهر أكثر من غيرها وتتكرر بكثرة بين البيانات. وقد لا توجد قيمة متكررة أصلاً، فلا يكون هناك منوال. ٤. المدى: ليس مقياس نزعة مركزية بل مقياس تشتت، ونحسبه بطرح أصغر قيمة من أكبر قيمة في البيانات.
مثال محلول خطوة بخطوة
إذا كانت أعمار مجموعة من الموظفين بالسنوات هي ٢٢، ١٨، ٢٤، ٣٢، ٢٤، ١٨، فأوجد مقاييس النزعة المركزية والمدى:
- المتوسط الحسابي: نجمع القيم ونقسمها على عددها (البالغ ٦): المتوسط الحسابي = سنة.
- الوسيط: نرتب الأرقام تصاعدياً: ١٨، ١٨، ٢٢، ٢٤، ٢٤، ٣٢. وبما أن عدد القيم زوجي، نأخذ القيمتين المتوسلتين في المنتصف وهما ٢٢ و٢٤ ونحسب لهما المتوسط: الوسيط = سنة.
- المنوال: القيم الأكثر تكراراً هي ١٨ و٢٤، إذن يوجد منوالان هما ١٨ و٢٤ سنة.
- المدى: نطرح أصغر قيمة من أكبر قيمة: المدى = ٣٢ - ١٨ = ١٤ سنة.
أخطاء شائعة
- نسيان ترتيب الأرقام قبل إيجاد الوسيط، مما يؤدي إلى اختيار قيمة خاطئة في المنتصف.
- الخلط بين المتوسط الحسابي والوسيط عند وجود قيم متطرفة وكبيرة جداً أو صغيرة جداً تؤثر على قيمة المتوسط ولا تؤثر بنفس الدرجة على الوسيط.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: أوجد المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى لمجموعة القيم التالية: ٥، ٦، ٥، ٧، ٥، ٦، ٧,٥. الإجابة:
- المتوسط الحسابي = ٦,٠٧ تقريباً.
- الوسيط = ٦.
- المنوال = ٥.
- المدى = ٢,٥.
السؤال الثاني: إذا كانت درجات طالب في ٤ اختبارات هي ٨٠، ٨٥، ٩٠، ٧٥، وأراد إضافة درجة اختبار خامس ليرتفع المتوسط الحسابي، فهل يشترط أن تكون الدرجة الخامسة أكبر من المتوسط الحالي؟ الإجابة: نعم، لكي يرتفع المتوسط الحسابي يجب أن تكون القيمة المضافة أكبر من المتوسط الحسابي القديم.