٣-٥ المضلعات والزوايا
انظر إلى الجدول المجاور في النشاط؛ تلاحظ أن المثلث له ثلاثة أضلاع ومجموع قياسات زواياه ، والشكل الرباعي له أربعة أضلاع ويتكون من مثلثين، فيكون مجموع قياسات زواياه حاصل ضرب عدد المثلثات في . فكر كيف تزيد عدد المثلثات كلما زاد ضلع واحد للمضلع. ستجد القاعدة العامة لمجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع وهي: ج = (ن - ٢) ضرب ، حيث ن تمثل عدد الأضلاع. لإيجاد مجموع زوايا المضلع العشاري، عوض عن ن بالعدد ١٠ في القاعدة واضرب الناتج في لتحصل على المجموع الكلي.
يقوم هذا الدرس على إيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع، وكذلك قياس الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم. الفكرة الأساسية تعتمد على تقسيم المضلع إلى مثلثات من رأس واحد، لأن مجموع زوايا المثلث الواحد معلوم وهو ١٨٠ درجة. القانون المستخدم لمجموع القياسات هو ج = (ن - ٢) ضرب ١٨٠ درجة، حيث ن تُمثل عدد الأضلاع. فمثلاً، لو أردنا إيجاد مجموع زوايا الشكل الرباعي، نعوض بـ ن بـ ٤، فيصبح الناتج (٤ - ٢) ضرب ١٨٠ درجة ليساوي ٣٦٠ درجة.
الفكرة الأساسية
يتناول الدرس كيفية حساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع، وكيفية حساب قياس زاوية واحدة في المضلع المنتظم. الفكرة تبدأ بتخيل المضلع مقسماً إلى مثلثات، حيث إن مجموع زوايا المثلث الواحد ثابت ومعلوم.
الشرح
انظر إلى أي مضلع، فلو اخترت رأساً واحداً ورسمت منه أقطاراً، فإنه سيتقسم إلى مجموعة من المثلثات. بما أن مجموع قياس زوايا المثلث الواحد هو ١٨٠ درجة، فإن مجموع زوايا المضلع يساوي عدد المثلثات الناتجة مضروباً في ١٨٠ درجة. من هنا نشأ القانون الجبري لحساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع وهو ج = (ن - ٢) ضرب ١٨٠ درجة، حيث ن هي عدد الأضلاع. أما المضلع المنتظم فهو الذي تساوت جميع أطوال أضلاعه وتساوت قياسات زواياه، ولإيجاد قياس زاوية داخلية واحدة فيه، نقسم مجموع القياسات الكلي على عدد الأضلاع ن.
مثال محلول خطوة بخطوة
أوجب مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع العشاري المكون من ١٠ أضلاع. الخطوة الأولى: اكتب المعادلة الخاصة بمجموع الزوايا الداخلية وهي ج = (ن - ٢) ضرب ١٨٠ درجة. الخطوة الثانية: عوض عن ن بـ ١٠ لأن المضلع عشاري، فيصبح الشكل ج = (١٠ - ٢) ضرب ١٨٠ درجة. الخطوة الثالثة: بسط المعادلة باطراح ٢ من ١٠ ليصبح الناتج ٨، ثم اضرب ٨ في ١٨٠ درجة ليساوي ١٤٤٠ درجة. إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للعشاري هو ١٤٤٠ درجة.
أخطاء شائعة
من الخطأ الشائع نسيان طرح العدد ٢ من عدد الأضلاع ن عند تطبيق القانون، أو التعويض بعدد المثلثات مباشرة بدلاً من عدد الأضلاع. كذلك قد ينسى البعض قسمة المجموع الكلي على عدد الأضلاع عند إيجاد قياس الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع السداسي. الإجابة: ن تساوي ٦، إذن ج = (٦ - ٢) ضرب ١٨٠ درجة = ٤ ضرب ١٨٠ درجة = ٧٢٠ درجة. السؤال الثاني: أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني. الإجابة: ن تساوي ٨، إذن ج = (٨ - ٢) ضرب ١٨٠ درجة = ٦ ضرب ١٨٠ درجة = ١٠٨٠ درجة.