التبرير المنطقي

يعتمد التبرير المنطقي على استخدام الحقائق والمعلومات المتوفرة لتكوين نمط أو تخمين يوصلنا إلى استنتاج مقبول. في هذا الدرس، نطبق خطوات حل المسألة الأربع وهي افهم، خطط، حل، وتحقق. فمثلاً، إذا عرفنا أن مجموع قياسات زوايا المثلث هو $180^\circ$، وأن قياس الزاوية القائمة هو $90^\circ$، يمكننا رسم عدة مثلثات قائمة الزاوية وقياس الزاويتين الحادتين فيها لنلاحظ نمطاً يظهر أن مجموع هاتين الزاويتين يساوي $90^\circ$ دائماً، مما يجعلنا نخمن أنهما متتامتان، مع تذكر أن هذا التخمين يبقى مجرد تخمين ولا يثبت كبرهان قاطع إلا بدليل رياضي شامل.

الفكرة الأساسية

تعتمد فكرة الدرس على استهلال استراتيجية التبرير المنطقي لحل المسائل من خلال جمع معلومات سابقة، والبحث عن نمط، ثم الوصول إلى تخمين أو استنتاج معقول.

الشرح

عندما تواجه مسألة رياضية، يمكنك استخدام خطوات حل المسألة الأربع: افهم، خطط، حل، تحقق. في مرحلة افهم، اجمع المعطيات الموجودة مثل مجموع قياسات زوايا المثلث الذي يساوي $180^\circ$ وقياس الزاوية القائمة الذي يبلغ $90^\circ$. في مرحلة خطط، حدد الطريقة المناسبة مثل رسم عدة أشكال أو استقراء القياسات. في مرحلة حل، قم بتنفيذ الخطة وقس الزوايا وابحث عن نمط متكرر. في مرحلة تحقق، جرب أمثلة أخرى للتأكد من صحة التخمين، واعلم أن التخمين يظل تخميناً ما لم يتم إثباته ببرهان.

مثال محلول خطوة بخطوة

لدينا مثلث قائم الزاوية، والمطلوب إيجاد تخمين لمجموع قياسي الزاويتين الحادتين فيه.

• الخطوة الأولى (افهم): نعرف أن مجموع زوايا أي مثلث $180^\circ$، وفي المثلث قائم الزاوية إحدى الزوايا تساوي $90^\circ$.
• الخطوة الثانية (خطط): ارسم عدة مثلثات قائمة الزاوية، وقس كل زاوية، وابحث عن نمط.
• الخطوة الثالثة (حل): بالنظر إلى المثلثات المرسومة نجد القياسات التالية: المثلث الأول: $ق \أ = 45^\circ$، $ق \ب = 45^\circ$، $ق \ج = 90^\circ$. المثلث الثاني: $ق \أ = 90^\circ$، $ق \ب = 35^\circ$، $ق \ج = 55^\circ$. المثلث الثالث: $ق \أ = 50^\circ$، $ق \ب = 90^\circ$، $ق \ج = 40^\circ$. يظهر أن مجموع قياسي الزاويتين الحادتين في مثلث قائم هو $90^\circ$؛ إذن الزاويتان الحادتان في المثلث القائم الزاوية متتامتان.
• الخطوة الرابعة (تحقق): يمكنك تجريب أمثلة أخرى للتأكد، ويبقى هذا تخميناً وليس برهاناً.

أخطاء شائعة

• الاعتقاد بأن التخمين الناتج عن التبرير المنطقي يعتبر برهاناً نهائياً ومطلقاً دون الحاجة لدليل رياضي.
• إهمال خطوات حل المسألة والقفز مباشرة إلى الإجابة دون فهم المعطيات أو البحث عن النمط.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: استعمل التبرير المنطقي لإيجاد نمط في المسألة التالية: إذا كانت مساحة كل مثلث في نمط من المثلثات القائمة الزاوية تساوي $12$ سم$^2$، فأوجد مساحة النمط المتكون في الشكل الخامس إذا تكرر بنفس الترتيب. الإجابة: بما أن مساحة المثلث الواحد ثابتة وتساوي $12$ سم$^2$، وبفرض أن الشكل الخامس يحتوي على خمسة مثلثات بناء على النمط، فتكون المساحة الكلية $5 \times 12 = 60$ سم$^2$.

السؤال الثاني: إذا كان فريق من الكشافة يقف بحيث يوجد طالب واحد في الصف الأول، ويزيد طالبان في كل صف جديد، وكان عدد الفريق $25$ طالباً، فكم صفاً يمكن تشكيله؟ الإجابة: بالبحث عن نمط لعدد الطلاب في الصفوف (الصف الأول: $1$، الصف الثاني: $3$، الصف الثالث: $5$، الصف الرابع: $7$، الصف الخامس: $9$) ومجموعهم حتى الصف الخامس يساوي $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$ طالباً، إذن يمكن تشكيل $5$ صفوف.