١-٥ علاقات الزوايا والمستقيمات

يركز هذا الدرس على تحديد العلاقات بين الزوايا الناتجة عن تقاطع مستقيمين متوازيين أو متقاطعين. نتعرف على الزوايا المتقابلة بالرأس والمتطابقة، إضافة إلى الزوايا المتئامة والمتكاملة التي مجموع قياساتها ۹۰ درجة و۱۸۰ درجة على التوالي. عندما يقطع مستقيم مستقيمين متوازيين، تنشأ أزواج خاصة من الزوايا مثل المتبادلة داخلياً ومتبادلة خارجياً والمتناظرة، وكل زوج منها يكون متطاباقاً. كمثال، إذا كانت الزاويتان متكاملتين وكان قياس إحداهما يساوي ۱۰۰ درجة، فإن قياس الزاوية الأخرى يكون مساوياً لـ ۸۰ درجة لأن مجموعهما يجب أن يساوي ۱۸۰ درجة. تساعدنا هذه العلاقات في إيجاد القياسات المجهولة للزوايا عبر حل المعادلات البسيطة.

الفكرة الأساسية

ندرس اليوم العلاقات التي تربط بين الزوايا الناتجة عندما يتقاطع مستقيمان، أو عندما يقطع مستقيم مستقيمين متوازيين. هدفنا هو معرفة كيف نحدد نوع العلاقة بين هذه الزوايا لنستعملها في إيجاد القياسات المجهولة.

الشرح

عندما يتقاطع مستقيمان، تنتج زوايا تربطها علاقات معينة:

• الزاويتان المتقابلتان بالرأس تققعان في جهتين مختلفتين من مستقيمين متقاطععين وهما متطابقتان، أي لهما نفس القياس.
• الزاويتان المتتامتان هما زاويتان مجموع قياسيهما يساوي $90^\circ$.
• الزاويتان المتكاملتان هما زاويتان مجموع قياسيهما يساوي $180^\circ$.

أما إذا قطع مستقيم (يسمى قاطعا) مستقيمين متوازيين، فتتكون ثماني زوايا تقع في أزواج خاصة:

• الزاويتان المتبادلتان داخلياً: تقعان بين المستقيمين وفي جهتين مختلفتين من القاطع، وهما متطابقتان.
• الزاويتان المتبادلتان خارجياً: تقعان خارج المستقيمين وفي جهتين مختلفتين من القاطع، وهما متطابقتان.
• الزاويتان المتناظرتان: تقعان في جهة واحدة من القاطع، إحداهما داخلية والأخرى خارجية، وهما متطابقتان.

مثال محلول خطوة بخطوة

في الشكل المجاور، إذا كان المستقيم أ يوازي المستقيم ب، وقياس $\angle 1 = 95^\circ$، فأوجد قياس $\angle 2$ وقياس $\angle 4$. الخطوة 1: بما أن $\angle 1$ و$\angle 2$ متجاورتان على مستقيم فهما متكاملتان، إذن مجموع قياسيهما يساوي $180^\circ$. الخطوة 2: اكتب المعادلة: $\text{ق } \angle 2 = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$. الخطوة 3: بما أن $\angle 2$ و$\angle 4$ داخليتان وتقعان في جهتين مختلفتين من القاطع، فهما زاويتان متبادلتان داخلياً ومن ثم فهما متطابقتان. الخطوة 4: إذن قياس $\angle 4 = 85^\circ$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين الزوايا المتتامة (مجموعها $90^\circ$) والزوايا المتكاملة (مجموعها $180^\circ$).
• افتراض أن الزوايا غير المتطابفة متطابقة عند التعامل مع القواطع، مثل الخلط بين الزوايا الداخلية الواقعة في جهة واحدة من القاطع (التي تكون متكاملة وليست متطابقة).

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كانت الزاويتان أ و ب متتامتان، وكان قياس الزاوية أ يساوي $35^\circ$، فما قياس الزاوية ب؟ الإجابة: بما أن الزاويتين متتامتان فمجموعهما $90^\circ$، إذن قياس الزاوية ب يساوي $90 - 35 = 55^\circ$. السؤال الثاني: إذا قطع مستقيم مستقيمين متوازيين، وكانت زاوية قياسها $120^\circ$، فما قياس الزاوية المتبادلة خارجياً معها؟ الإجابة: الزاويتان المتبادلتان خارجياً متطابقتان، إذن قياس الزاوية المتبادلة يساوي $120^\circ$.