٧-٣ التكبير والتصغير

يقوم التمدد على تكبير شكل معطى أو تصغيره لتنتج صورة تشبه الصورة الأصلية ذات أبعاد متناسبة. ويعرف مركز التمدد بأنه النقطة الثابتة التي تستعمل في القياس عند تعديل قياسات الشكل، وتسمى النسبة بين طول الصورة إلى طول الشكل الأصلي عامل المقياس. فإذا كان عامل المقياس أكبر من 1 ينتج تكبير، وإذا كان محصوراً بين 0 و1 ينتج تصغير. فمثلاً عند إجراء تمدد لرؤوس مثلث بعامل مقياس $\frac{1}{2}$، فإننا نضرب كل إحداثي في $\frac{1}{2}$ لنحصل على إحداثيات الصورة الجديدة.

الفكرة الأساسية

رسم صورة ناتجة عن تكبير شكل أو تصغيره بنسبة محددة.

الشرح

تسمى الصورة الناتجة عن تكبير شكل معطى أو تصغيره تمددا، والصورة الناتجة عن التمدد تشبه الصورة الأصلية، والأبعاد المتناظرة فيها متناسبة. يشير مركز التمدد إلى النقطة الثابتة التي تستعمل في القياس عند تعديل قياسات الشكل، وتسمى النسبة بين طول الصورة إلى طول الشكل الأصلي عامل المقياس. عند تمدد الأشكال في المستوى الإحداثي، نضرب إحداثيات كل رأس من رؤوس الشكل الأصلي في عامل المقياس لنحصل على إحداثيات الصورة. إذا كان عامل المقياس أكبر من واحد، فإن التمدد يؤدي إلى تكبير حيث تكون الصورة أكبر من الشكل الأصلي. وإذا كان عامل المقياس يتراوح بين صفر وواحد، فإن التمدد يؤدي إلى تصغير حيث تكون الصورة أصغر من الشكل الأصلي.

مثال محلول خطوة بخطوة

مثل بيانياً المثلث ج ك ل الذي رؤوسه ج(٣، ٨)، ك(١٠، ٦)، ل(٨، ٢) ثم مثل بيانياً الصورة التي تمثل المثلث جَ كَ لَ الناتج عن تمدد عامل مقياسه يساوي $\frac{1}{2}$. الخطوة الأولى: نكتب إحداثيات رؤوس المثلث الأصلي. الخطوة الثانية: نضرب كل إحداثي سيني وصادي في عامل المقياس $\frac{1}{2}$. ج(٣، ٨) تصبح جَ($\frac{3}{2}$، ٤). ك(١٠، ٦) تصبح كَ(٥، ٣). ل(٨، ٢) تصبح لَ(٤، ١). الخطوة الثالثة: نمثل رؤوس المثلث الأصلي ورؤوس الصورة في المستوى الإحداثي ونصلهما.

أخطاء شائعة

ضرب إحداثي واحد فقط (السيني أو الصادي) في عامل المقياس بدلاً من ضرب كلا الإحداثيين لكل رأس في عامل المقياس. الخلط بين التكبير والتصغير باعتقاد أن عامل المقياس الأقل من واحد يكبر الشكل.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد إحداثيات الصورة للمثلث ج ك ل بعد إجراء تمدد بعامل مقياس ٣. الإجابة: نضرب إحداثيات كل رأس في ٣ لتصبح جَ(٩، ٢٤)، كَ(٣٠، ١٨)، لَ(٢٤، ٦). السؤال الثاني: صنف التمدد الذي يكون عامل مقياسه $\frac{5}{2}$ إلى تكبير أو تصغير. الإجابة: بما أن عامل المقياس $\frac{5}{2}$ أكبر من ١، إذن التمدد تكبير.