٦-٣ تشابه المضلعات

يقوم تشابه المضلعات على أساسين رئيسيين: أن تكون الزوايا المتناظرة متطابقة، وأن تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة. عندما يتشابه مضلعان، فإن النسبة بين أطوال أضلاعهما تسمى عامل المقياس، وهي نفسها النسبة بين محيطيهما. لمعرفة ما إذا كان شكلان متشابهين، تأكد من تساوي الزوايا واختبار تناسب الأضلاع. لإيجاد قياس ناقص، اكتب تناسبا يربط بين الأضلاع المتناظرة واحلله بالضرب التبادلي، تماما كما تقارن صورة مصغرة بحجمها الحقيقي.

الفكرة الأساسية

يتشابه المضلعان إذا انطبقت عليهما شرطان أساسيان معا: أن تكون زواياهما المتناظرة متطابقة، وأن تكون أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة.

الشرح

تخيل صورتين لشكل هندسي، إحداهما مكبرة والأخرى مصغرة بنفس النسب؛ فالزوايا تظل ثابتة لا تتغير، بينما تزداد الأضلاع أو تنقص بنسبة ثابتة تسمى عامل المقياس. لمعرفة ما إذا كان مضلعان متشابهين، افحص الزوايا أولا لتتأكد من مطابقتها، ثم اختبر النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة. إذا كانت النسبة ثابتة بين جميع الأضلاع فالشكلان متشابهان، وإلا فلا. كما ترتبط المحيطات بالتشابه؛ فالنسبة بين محيطي شكلين متشابهين تساوي عامل المقياس بينهما.

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا كان المضلع أ ب ج د يشابه المضلع ف ر و ش، وكان طول أ ب يساوي ١٢، وطول ف ر يساوي ١٥، وطول ب ج يساوي ١٠، فأوجد طول ر و. الخطوة الأولى: اكتب تناسبا يربط بين الأضلاع المتناظرة، ولتكن م هي طول ر و. rac{ ext{رو}}{ ext{بج}} = rac{ ext{فروش}}{ ext{أب}} الخطوة الثانية: عوض بالأرقام المعلومة في التناسب. rac{م}{١٠} = rac{١٥}{١٢} الخطوة الثالثة: استعمل الضرب التبادلي لحل المعادلة. $١٢ imes م = ١٠ imes ١٥$ $١٢م = ١٥٠$ الخطوة الرابعة: اقسم كلا الطرفين على ١٢ لإيجاد قيمة م. م = rac{١٥٠}{١٢} = ١٢,٥

أخطاء شائعة

الاعتقاد الخاطئ بأن تساوي الزوايا وحدها يكفي للحكم على تشابه المضلعات، كما يحدث في المستطيلات؛ إذ يجب التحقق من تناسب أطوال الأضلاع المتناظرة أيضا.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كان المثلث أ ب ج يشابه المثلث د ه و، وكان محيط المثلث أ ب ج يساوي ٤٠ وحدة، فما محيط المثلث د ه و إذا كان عامل المقياس هو rac{٣}{٢}؟ الإجابة: بما أن النسبة بين محيطي المثلثين تساوي عامل المقياس، إذن rac{محيط أ ب ج}{محيط د ه و} = rac{٣}{٢}، وبتعويض محيط أ ب ج بـ ٤٠ والحل بالضرب التبادلي ينتج أن محيط د ه و يساوي ٦٠ وحدة. السؤال الثاني: حدد ما إذا كان مربعان محيط أحدهما ٢٨ ومحيط الآخر ٤٢ متشابهين، وما عامل المقياس؟ الإجابة: نعم، كل المربعات متشابهة دائما، وعامل المقياس يساوي النسبة بين محيطيهما rac{٢٨}{٤٢} والتي تساوي بعد التبسيط rac{٢}{٣}.