٨-٣ القياس غير المباشر

يقوم درس القياس غير المباشر على فكرة استخدام المثلثات المتشابهة لإيجاد الأطوال أو المسافات التي يصعب قياسها بصورة مباشرة. يعتمد على كتابة تناسب يربط بين الأطوال المتناظرة للمضلعات المتشابهة، مثل مقارنة طول عصا وضلها بارتفاع جسم وظله. كمثال، لإيجاد ارتفاع مصباح ظله ٨ أمتار، إذا كان طول مضخة ٠,٧٥ متر وضلها ١,٥ متر، نكتب التناسب $\frac{0.75}{h} = \frac{1.5}{8}$ ثم نحل الضرب التبادلي لنجد أن ارتفاع المصباح يساوي ٤ أمتار.

الفكرة الأساسية

يساعدنا القياس غير المباشر على استعمال التناسب في المضلعات المتشابهة لإيجاد الأطوال أو المسافات التي يصعب قياسها بصورة مباشرة.

الشرح

عندما ترغب في معرفة طول شيء طويل جدا مثل شجرة أو برج أو بحيرة واسعة، لا يمكنك استخدام متر قياس عادي بشكل مباشر. هنا نستفيد من فكرة تشابه المثلثات. الزوايا المتناظرة في المثلثات المتشابهة متطابقة، والأطوال المتناظرة متناسبة. يمكنك تكوين تناسب رياضي يربط بين الأضلاع المعروفة والمجهولة، ثم حل هذا التناسب باستخدام الضرب التبادلي.

مثال محلول خطوة بخطوة

مثال: يبلغ ارتفاع مضخة مياه $0.75$ متر، وكان طول ظلها في وقت ما $1.5$ متر. فإذا كان طول ظل مصباح الطريق في الوقت نفسه $8$ أمتار، فما ارتفاع المصباح عن الأرض؟ لتكن $h$ تساوي ارتفاع المصباح عن الأرض. الخطوة الأولى: اكتب التناسب بالكلمات أو الرموز: $$\frac{\text{طول العصا}}{\text{طول ظل الهرم} + \text{الطول } l} = \frac{\text{طول ظل العصا}}{\text{ارتفاع الهرم}}$$ أو باستعمال أبعاد المسألة: $$\frac{0.75}{h} = \frac{1.5}{8}$$ الخطوة الثانية: اضرب ضربا تبادلياً: $$1.5 \times h = 8 \times 0.75$$ الخطوة الثالثة: أوجد نواتج الضرب: $$1.5 h = 6$$ الخطوة الرابعة: اقسم كلا الطرفين على $1.5$ وبسّط: $$h = 4$$ إذن ارتفاع المصباح عن الأرض يساوي $4$ أمتار.

أخطاء شائعة

• الخلط بين مواقع الأرقام في البسط والمقام عند كتابة التناسب.
• نسيان جمع أو طرح أجزاء الظل عندما يتداخل ظل الجسم مع امتدادات أخرى.
• الخطأ في حساب الضرب التبادلي أو القسمة على معامل المتجه.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: إذا كان طول ظل إشارة مرور $3$ أمتار، وطول ظل برج الهاتف النقال في الوقت نفسه $31.2$ مترا، فما طول برج الهاتف النقال إذا كان طول إشارة المرور مترين؟ الإجابة: $20.8$ مترا. السؤال الثاني: مثلثان متشابهان، طول ضلع الأول $10$ سم، وعرضه $4$ سم، وطول الثاني $5$ سم. ما محيط المستطيل الثاني؟ الإجابة: $12$ سم.