٣-٣ المعدل الثابت للتغيّر

يقوم هذا الدرس على فكرة العلاقة الخطية التي تمثل بيانيا بخط مستقيم، وتعتمد على معدل ثابت للتغير. فإذا كانت الزيادة أو النقصان في القيمتين تتم بمعدل ثابت، فهذه علاقة خطية لها معدل ثابت للتغير. وبعض هذه العلاقة الخطية قد تكون متناسبة عندما تكون النسبة بين الكميتين ثابتة ويمر التمثيل البياني بنقطة الأصل، بينما العلاقات الخطية الأخرى غير متناسبة. لإيجاد معدل التغير، نقسم التغير في الصادات على التغير في السينات، مثل إيجاد ثمن القصص بقسمة الفرق في التكلفة على الفرق في عدد القصص للحصول على معدل التغير الثابت.

الفكرة الأساسية

ندرس اليوم كيف نحدد العلاقات الخطية المتناسبة وغير المتناسبة من خلال إيجاد معدل ثابت للتغير، بحيث تزيد القيم أو تنقص بمقدار ثابت في كل مرة.

الشرح

تسمى العلاقة التي تمثل بيانيا بخط مستقيم علاقة خطية. انظر إلى الجدول: عندما يزيد الزمن دقيقة واحدة، يزداد عدد الأسطر بمقدار سطرين مثلا. بما أن معدل التغير بين أي نقطتين ثابت، فللعلاقة معدل ثابت للتغير. ولكي نعرف هل العلاقة متناسبة أم لا، نختبر النسبة بين الكميتين؛ فإذا كانت النسبة ثابتة ومثلث بيانيا بخط مستقيم يمر بنقطة الأصل، فالقلاقة متناسبة. أما إذا كان معدل التغير ثابتا ولكن النسبة غير متساوية، فالعلاقة خطية غير متناسبة.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد المعدل الثابت للتغير في ثمن القصص، إذا كانت قصة واحدة بثلاثة وثلاث قصص بتسعة ريالان.

1. اختر نقطتين تقعان على الخط: النقطة الأولى (١، ٣) والنقطة الثانية (٩، ٣).
2. اكتب قانون معدل التغير: $\frac{\text{التغير في الثمن}}{\text{التغير في العدد}}$.
3. اطرح القيم: $\frac{9 - 3}{3 - 1}$.
4. احاتِج الناتج: $\frac{6 \text{ ريالات}}{2 \text{ قصة}}$.
5. بسّط الكسر: $\frac{3 \text{ ريالات}}{1 \text{ قصة}}$. إذن يتغير ثمن القصص بمقدار ٣ ريالان لكل قصة.

أخطاء شائعة

• قسمة التغير في السينات على الصادات بالخطأ، والصحيح دائما هو قسمة التغير في الصادات (رأسياً) على التغير في السينات (أفقياً).
• الاعتقاد بأن كل علاقة خطية هي علاقة متناسبة، والصحيح أن العلاقة المتناسبة تتطلب أن يكون معدل التغير ثابتا والنسبة بين الكميتين ثابتة أيضاً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: جدول يبين عدد المشتريات والمبلغ المتبقي بالريال كالتالي: (٣، ١٧٠)، (٦، ١٤٠)، (٩، ١١٠)، (١٢، ٨٠). هل العلاقة خطية؟ وأوجِد المعدل الثابت للتغير. الإجابة: نعم العلاقة خطية، والمعدل الثابت للتغير هو $\frac{-30}{3} = -10$ ريالات لكل عملية شراء. السؤال الثاني: إذا كانت درجة الحرارة في الساعة السادسة صباحا ١٧ درجة سليزية، وفي الساعة الحادية عشرة صباحا بلغت ٢٧ درجة سليزية، فأوجِد معدل تغير درجة الحرارة لكل ساعة. الإجابة: معدل التغير هو $\frac{27 - 17}{11 - 6} = \frac{10}{5} = 2$ درجتين لكل ساعة.