١-٣ العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة

يقوم الدرس على فكرة معرفة ما إذا كانت الكميتان متناسبتين أم لا، وذلك عن طريق كتابة النسب بينهما في أبسط صورة. إذا كانت النسبة ثابتة في جميع الحالات، تكون العلاقة متناسبة، وإذا تغيرت النسبة، تصبح العلاقة غير متناسبة. على سبيل المثال، إذا كان ثمن الهدية الواحدة ثمانية ريالات، فإن شراء هدية يكلف ثمانية ريالات، وشراء هديتين يكلف ستة عشر ريالاً، وعند تبسيط النسب نجدها ثابتة وتساوي ثمانية، إذن العلاقة متناسبة.

الفكرة الأساسية

تعتمد الفكرة الأساسية للدرس على مقارنة كميتين لمعرفة ما إذا كانت العلاقة بينهما تناسباً أم لا. يتم ذلك بحساب النسبة بين القيم في كل حالة، فإذا تساوت جميع النسب كانت الكميتان متناسبتين، وإذا اختلفت كانت غير متناسبتين.

الشرح

عندما تتغير قيمتا كميتين معاً، مثل عدد الهدايا وثمنها، نحتاج إلى معرفة ما إذا كان التغير منتظماً وثابتاً. لنفترض أننا نشتري هدايا سعر الهدية الواحدة منها ثابت. إذا كتبنا نسبة الثمن إلى عدد الهدايا في كل مرة ثم بسطناها، فسنحصل على القيمة نفسها في كل كسر. هذه الثبات في النسبة يعني أن الكميتين متناسبتان. أما إذا اختلفت النسبة عند تبسيط الكسور، فالكميتان غير متناسبتين.

مثال محلول خطوة بخطوة

بيع وجبات: يبيع أحد المطاعم الوجبة الواحدة بمبلغ ١٤ ريالاً، ويتقاضى ريالين عن توصيل كل طلب. هل تتناسب التكلفة مع عدد الوجبات المطلوبة؟ أوجد تكلفة ١، ٢، ٣، ٤ وجبات. الخطوة الأولى: أنشئ جدولاً لتنظيم المعطيات. عدد الوجبات: ١، ٢، ٣، ٤. التكلفة بالريال لكل منها: ١٦، ٣٠، ٤٤، ٥٨. الخطوة الثانية: اكتب العلاقة بين التكلفة وعدد الوجبات في صورة نسبة وبسطها. نسبة الوجبة الأولى $\frac{16}{1} = 16$. نسبة الوجبتين $\frac{30}{2} = 15$. نسبة الوجبات الثلاث $\frac{44}{3} \approx 14,7$. نسبة الوجبات الأربع $\frac{58}{4} = 14,5$. الخطوة الثالثة: قارن النواتج. بما أن النسبة ليست ثابتة وتتغير في كل مرة، إذن التكلفة لا تتناسب مع عدد الوجبات، والعلاقة غير متناسبة.

أخطاء شائعة

الاعتقاد بأن زيادة الكميتين معاً تعني دائماً وجود تناسب، متجاهلين أهمية ثبات النسبة بينهما. قسمة العدد على الثمن بدلاً من كتابة النسبة بالشكل الصحيح المطابق للترتيب المطلوب في المسألة. عدم تبسيط الكسور بالكامل للمقارنة بدقة بين النواتج.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: هل يشرب الفيل البالغ ٢٢٥ لترا من الماء كل يوم تقريبًا؟ هل يتناسب عدد الأيام مع عدد لترات الماء التي يشربها الفيل؟ وضح إجابتك. الإجابة: نعم، يتناسب عدد الأيام مع كمية الماء، لأن النسبة بين لترات الماء إلى عدد الأيام تظل ثابتة في كل يوم. السؤال الثاني: يعمل صالح بائعاً في أحد المحال التجارية، ويتقاضى مبلغ ٦٥ ريالاً عن كل يوم عمل. هل يتناسب المبلغ الذي يتقاضاه صالح مع عدد أيام العمل؟ وضح إجابتك. الإجابة: نعم، يتناسب المبلغ مع عدد أيام العمل، لأن نسبة ما يتقاضاه إلى عدد الأيام ثابتة وتساوي ٦٥ في كل مرة تبسط فيها النسبة.