٦-٢ تطبيقات على نظرية فيثاغورس
انظر إلى فكرة الدرس وهي حل مسائل باستعمال نظرية فيثاغورس. في فقرة استعد، تخيل طائرة ورقية تطير بحبل مربوط في الأرض، لتجد أن المسافة الأفقية والارتفاع الراسي وخيط الطائرة يصنعون مثلثاً قائم الزاوية. اكتب معادلة توضح العلاقة بين هذه الأضلاع. في مثال من واقع الحياة، لديك مظلة شراعية تحلق على ارتفاع مجهول، ومعطى طول الوتر وهو خيط المظلة والمسافة الأفقية بين المظلي والشخص على سطح الماء. استعمل نظرية فيثاغورس بوضع مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، ثم عوض بالأرقام واطرح واجذر لتصل إلى قيمة أ. في فقرة تحقق من فهمك أ، طبق نفس الطريقة بحساب المسافة بين الطائرتين.
يقوم هذا الدرس على توظيف نظرية فيثاغورس لحل مسائل من واقع الحياة تمثل أطوال أضلاع لمثلثات قائمة الزاوية. الفكرة الأساسية تعتمد على العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية، وهي أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طول الساقين، أي جـ^٢ = أ^٢ + ب^٢. من خلال هذه القاعدة، إذا عُلم طول ضلعين، يمكن إيجاد طول الضلع الثالث المجهول عبر كتابة المعادلة، ثم التعويض بالقيم المتاحة، ثم تبسيط المعادلة واستعمال الجذر التربيعي للوصول إلى الناتج. على سبيل المثال، في مثلث قائم الزاوية طول ساقيه ٦ سم و٨ سم، لإيجاد طول الوتر جـ، نكتب جـ^٢ = ٦^٢ + ٨^٢، فتصبح جـ^٢ = ٣٦ + ٦٤ = ١٠٠، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين يكون طول الوتر ١٠ سم.
الفكرة الأساسية
تحل مسائل باستعمال نظرية فيثاغورس لإيجاد الأطوال والمجافات المجهولة في حياتنا اليومية عبر نمذجتها على شكل مثلثات قائمة الزاوية.
الشرح
عندما تواجه مشكلة تتضمن قياس مسافات أو أطوال تمثل أضلاعاً لمثلث قائم الزاوية وتكون إحداها مجهولة، فإنك تستعمل نظرية فيثاغورس. العلاقة الرياضية هي جـ^٢ = أ^٢ + ب^٢، حيث يمثل جـ الوتر وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، بينما يمثل أ و ب ساقي المثلث. ابدأ بتحديد المعطيات من المسألة وكتابة المعادلة المناسبة، ثم عوض بالأرقام المعلومة، ثم أجرِ العمليات الحسابية لتبسيط المعادلة، وأخيراً خذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد القيمة المطلوبة.
مثال محلول خطوة بخطوة
انظر إلى مظلة شراعية ترتفع فوق سطح الماء حيث يمثل ارتفاعها الرأس أ، والمسافة الأفقية ب، وطول حبل المظلة الوتر جـ. إذا كان طول الحبل ٦٠ متراً والمسافة الأفقية ٤١ متراً، أوجد ارتفاع المظلي. ١. اكتب القانون: جـ^٢ = أ^٢ + ب^٢ ٢. عوض عن جـ بـ ٦٠ وعن ب بـ ٤١: ٦٠^٢ = أ^٢ + ٤١^٢ ٣. احسب المربعات: ٣٦٠٠ = أ^٢ + ١٦٨١ ٤. اطرح ١٦٨١ من كل طرف: ٣٦٠٠ - ١٦٨١ = أ^٢ + ١٦٨١ - ١٦٨١ ٥. بسط الناتج: ١٩١٩ = أ^٢ ٦. استخدم تعريف الجذر التربيعي: أ = ٧. بسط المقدار لأقرب عدد مناسب: أ ٤٤ أو أ -٤٤ (والطول بالسالب يُهمل) إذن ارتفاع المظلي حوالي ٤٤ متراً فوق سطح الماء.
أخطاء شائعة
- الخلط بين الوتر وأحد الساقين عند التعويض في المعادلة، متجاهلين أن الوتر هو الضلع الأطول دائماً والمقابل للزاوية القائمة.
- نسيان أخذ الجذر التربيعي في الخطوة الأخيرة والاكتفاء بقيمة المربع.
- إهمال كتابة الوحدات أو تقريب الناتج بخلاف ما هو مطلوب في السؤال.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: اكتب معادلة يمكن استعمالها لإيجاد المسافة ف بين الطائرتين في الشكل إذا كان الضلع الأفقي ١٠ كلم والرأس ف وارتفاعه ٧ كلم، ثم حلها. الإجابة: المعادلة هي ف^٢ = ١٠^٢ + ٧^٢، فتصبح ف^٢ = ١٠٠ + ٤٩ = ١٤٩، وبأخذ الجذر التربيعي تكون ف ١٢,٢ كلم. السؤال الثاني: إذا كان طول ساقي مثلث قائم الزاوية المتطابق الضلعين يساوي ٤ سم، فما طول الوتر؟ الإجابة: جـ^٢ = ٤^٢ + ٤^٢، إذن جـ^٢ = ١٦ + ١٦ = ٣٢، وبأخذ الجذر التربيعي يصبح الوتر جـ = وحدة.