٥-٢ نظرية فيثاغورس

تقوم نظرية فيثاغورس على إيجاد العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية، وتحديدا بين الساقين والوتر. تنص القاعدة على أن مجموع مربعي طولي الساقين يساوي مربع طول الوتر، وتكتب بالصيغة $ج^2 = أ^2 + ب^2$. تستعمل هذه النظرية لإيجاد طول ضلع مجهول في المثلث القائم الزاوية إذا علم طولا الضلعين الآخرين. فمثلا، إذا كان طولا الساقين ٩ سم و١٢ سم، فإن مربع الوتر يساوي مجموع مربعيهما، أي ۸۱ زائد ١٤٤ يساوي ٢٢٥، وبأخذ الجذر التربيعي ينتج أن طول الوتر يساوي ١٥ سم.

الفكرة الأساسية

في المثلث القائم الزاوية، توجد علاقة ثابتة بين أطوال أضلاعه الثلاثة. الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة يسميان الساقين، بينما الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر وهو أطول أضلع المثلث. تربط نظرية فيثاغورس بين هذه الأضلاع بحيث يكون مربع طول الوتر مساويا لمجموع مربعي طولي الساقين.

الشرح

انظر إلى المثلث القائم الزاوية في الشكل؛ الرمز المربع عند إحدى الزوايا يشير إلى أنها زاوية قائمة قياسها ۹۰ درجة. الصيغة الرياضية للنظرية هي $ج^2 = أ^2 + ب^2$ حيث يمثل الحرف $ج$ طول الوتر، بينما يمثل الحرفان $أ$ و$ب$ طولي الساقين. تستعمل هذه النظرية لإيجاد طول ضلع مجهول في المثلث القائم الزاوية إذا علم طولا الضلعين الآخرين. كما أن عكس النظرية صحيح أيضا، فإذا كانت أطوال أضلاع أي مثلث تحقق المعادلة $ج^2 = أ^2 + ب^2$ فإن هذا المثلث يكون قائما.

مثال محلول خطوة بخطوة

انظر إلى المثلث القائم الزاوية الذي طول ساقيه ٩ سم و١٢ سم وطول وتره مجهول ويرمز له بالحرف $ج$. الخطوة الأولى: اكتب معادلة نظرية فيثاغورس وهي $ج^2 = أ^2 + ب^2$. الخطوة الثانية: عوض عن $أ$ بالقيمة ٩ وعن $ب$ بالقيمة ١٢ لتصبح المعادلة $ج^2 = ٩^2 + ١٢^2$. الخطوة الثالثة: احسب مربعي العددين، مربع التسعة هو ٨١ ومربع الاثني عشر هو ١٤٤، فتصبح المعادلة $ج^2 = ١٤٤ + ٨١$. الخطوة الرابعة: اجمع العددين ليصبح الناتج $ج^2 = ٢٢٥$. الخطوة الخامسة: خذ الجذر التربيعي للطرفين لتبسيط المعادلة، فينتج أن $ج = ١٥$ أو $ج = -١٥$. الخطوة السادسة: بما أن طول الضلع يجب أن يكون موجبا دائما، فإن طول الوتر يساوي ١٥ سم.

أخطاء شائعة

من الأخطاء المتكررة جمع طولي الساقين مباشرة دون مربعهما، أو الخلط بين الساق والوتر واعتبار الوتر هو أحد الضلعين القصيرين، رغم أن الوتر هو دائما الضلع الأطول المقابل للزاوية القائمة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: اكتب معادلة لإيجاد طول الضلع المجهول في مثلث قائم الزاوية طول ساقيه ٨ م و٢٤ م، ثم أوجد طول الضلع المجهول وقربه إلى أقرب جزء من عشرة. الإجابة: المعادلة هي $ب^2 + أ^2 = ج^2$. بالتعويض عن $أ$ بالقيمة ٨ وعن $ج$ بالقيمة ٢٤ يصبح لدينا $ب^2 + ٨^2 = ٢٤^2$. بحساب المربعات تصبح المعادلة $ب^2 + ٦٤ = ٥٧٦$. بطرح ٦٤ من كل طرف ينتج $ب^2 = ٥١٢$. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين يصبح طول الضلع $ب$ يساوي تقريبا ٢٢,٦ مترا. السؤال الثاني: حدد ما إذا كان مثلث أطوال أضلاعه ٥ سم، ١٢ سم، ١٣ سم يمثل مثلثا قائم الزاوية أم لا. الإجابة: نعوض في عكس نظرية فيثاغورس بحيث يكون الضلع الأكبر هو الوتر $ج = ١٣$. نحسب $١٣^2$ فيساوي ١٦٩، ونحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين $٥^2 + ١٢^2$ فيساوي ٢٥ زائد ١٤٤ ويساوي ١٦٩. بما أن الطرفين متساويان، إذن المثلث قائم الزاوية.