٤-٢ الأعداد الحقيقية

يقوم درس الأعداد الحقيقية على تصنيف الأعداد إلى مجموعات تشمل الأعداد الطبيعية والكلية والصحيحة والنسبية، إضافة إلى الأعداد غير النسبية وهي الأعداد التي لا يمكن كتابتها على صورة كسر اعتيادي وتكون كسورها العشرية غير منتهية وغير متكررة مثل الجذور التربيعية لأعداد ليست مربعات كاملة. تتألف مجموعة الأعداد الحقيقية من اتحاد الأعداد النسبية وغير النسبية معاً، وتخضع لخصائص الجبر كالابدال والتجميع والتوزيع. مثال سريع: العدد ٥ هو عدد طبيعي وصحيح ونسبي وحقيقي، بينما العدد $\sqrt{7}$ هو عدد غير نسبى وحقيقي لأن قيمته العشريّة غير منتهية.

الفكرة الأساسية

تتعرف في هذا الدرس على نظام الأعداد الحقيقية وكيفية تصنيف الأعداد المختلفة إلى مجموعاتها المناسبة، ومعرفة الفرق بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية، إضافة إلى تمثيلها على خط الأعداد ومقارنتها.

الشرح

تنقسم الأعداد إلى عائلات مترابطة. الأعداد النسبية هي كل عدد يمكن كتابته على صورة كسر $\frac{أ}{ب}$ حيث أ و ب عددان صحيحان وب لا يساوي صفراً، وتشمل الكسور الاعتيادية والكسور العشرية المنتهية أو الدورية. أما الأعداد غير النسبية فهي الأعداد التي لا يمكن كتابتها على صورة كسر اعتيادي، مثل الجذور التربيعية لأي عدد ليس مربعاً كاملاً، حيث تعطي الآلة الحاسبة كسراً عشرياً غير منته وغير متكرر. وعندما نجمع مجموعة الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد غير النسبية معاً، فإننا نحصل على مجموعة الأعداد الحقيقية. وتتحقق في الأعداد الحقيقية خصائص الجبر المعروفة مثل الإبدال والتجميع والتوزيع والعنصر المحايد والنظير.

مثال محلول خطوة بخطوة

المطلوب: سم كل مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد الحقيقي $-\sqrt{7}$. الخطوة الأولى: أوجد قيمة الجذر باستخدام الآلة الحاسبة، فتجد أن $-\sqrt{7} \approx -2.645751311...$ الخطوة الثانية: لاحظ أن الكسر العشري غير منته ولا يتكرر. الخطوة الثالثة: بما أن العدد لا يمكن كتابته على صورة كسر اعتيادي $\frac{أ}{ب}$، فهو إذن عدد غير نسبي. الخطوة الرابعة: بما أنه يقع ضمن نظام الأعداد الحقيقية، إذن التصنيف النهائي هو: عدد غير نسبي وعدد حقيقي.

أخطاء شائعة

الاعتقاد بأن كل جذور الأعداد هي أعداد غير نسبية، بينما الجذر التربيعي لعدد مربع كامل مثل $\sqrt{25}$ يساوي 5 وهو عدد نسبي وليس غير نسبي.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: سم كل مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد $\sqrt{100}$. الإجابة: عدد كلي، عدد صحيح، عدد نسبي، عدد حقيقي. السؤال الثاني: ضع إشارة > أو < أو = في الدائرة لتكون العبارة صحيحة: $\sqrt{7} \bigcirc 2\frac{2}{3}$. الإجابة: بما أن $\sqrt{7} \approx 2.64575$ و $2\frac{2}{3} = 2.66666$، إذن الإجابة هي الأصغر: $\sqrt{7} < 2\frac{2}{3}$.