٨-١ القوى والأسس

القوى والأسس طريقة مختصرة لكتابة ضرب العدد في نفسه عدة مرات. يتكون التعبير القوي من الأساس، وهو العامل المكرر، والأس، وهو الرقم الصغير الذي يوضح عدد مرات تكرار ضرب الأساس في نفسه. مثلاً، العبارة $2^4$ تعني أن العدد 2 مكرر في الضرب 4 مرات، لتصبح $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. نتعلم أيضاً أن أي عدد غير الصفر مرفوع لأس صفر يساوي واحدًا، وأن الأس السالب يقلب العدد إلى نظيره الضربي مع تحويل الأس إلى موجب، مثل $5^{-3} = \frac{1}{5^3}$. تتيح لنا القوى كتابة الأعداد الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً بطريقة مبسطة، وتسهل إجراء العمليات الحسابية وحل المعادلات الجبرية المعقدة عبر تعويض المتغيرات وقيمها لحساب النتيجة النهائية بدقة.

الفكرة الأساسية

الأسس والقوى هي طريقة رياضية مختصرة للتعبير عن ضرب العدد في نفسه عدة مرات. بدلاً من كتابة سلسلة طويلة من عمليات الضرب لنفس العامل، نكتب الأساس مرفوعاً لأس يحدد عدد مرات التكرار.

الشرح

تتألف القوة من جزأين رئيسيين: الأساس وهو العامل الذي يتم تكراره، والأس وهو العدد العلوي الأصغر الذي يبين عدد المرات التي استعمل فيها الأساس بوصفه عاملاً. إذا كان لدينا عبارة مثل $2^4$، فالأساس هو 2 والأس هو 4، ويعني ذلك ضرب العدد 2 في نفسه 4 مرات هكذا: $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.

نمتد في هذا الدرس لدراسة حالات خاصة ومهمة تشمل الأسس السالبة والصففرية. أي عدد غير الصفر مرفوع للأس صفر يساوي دائماً واحداً، وأي عدد غير الصفر مرفوع لأس سالب هو النظير الضربي للعدد نفسه مرفوعاً للأس الموجب، مثل $5^{-3} = \frac{1}{5^3}$. عند حساب قيمة عبارات تتضمن متغيرات، نعوض عن كل متغير بقيمته المعطاة ثم نحسب القوة الناتجة.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد قيمة العبارة $3^2 \times 4^l$ إذا كان $s = 2$ و$l = 5$. الخطوة الأولى: نعوض عن قيم المتغيرات في العبارة الأصلية لتصبح $3^2 \times 5^4$. الخطوة الثانية: نكتب القوى كناتج ضرب متكرر لكل جزء على حدة، فتكون $(3 \times 3) \times (5 \times 5 \times 5 \times 5)$. الخطوة الثالثة: نحسب ناتج الضرب لكل قسم، ليصبح الناتج $9 \times 625$. الخطوة الرابعة: نضرب العددين معاً لنحصل على النتيجة النهائية وهي $5625$.

أخطاء شائعة

من الخطأ الشائع ضرب الأساس في الأس مباشرة، مثل حساب $2^3$ على أنها $2 \times 3 = 6$ والصحيح هو ضرب الأساس في نفسه عدد مرات الأس أي $2 \times 2 \times 2 = 8$. ومن الأخطاء أيضاً التعامل مع الأس السالب على أنه ينتج قيمة سالبة، والصحيح أن الأس السالب يعني مقلوب العدد وليس إشارته.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: اكتب العبارة $m \times m \times p \times p \times p \times \frac{1}{2}$ باستعمال الأسس. الإجابة: $m^2 \times p^3 \times \frac{1}{2}$.

السؤال الثاني: أوجد قيمة العبارة $(-4)^3$. الإجابة: $(-4) \times (-4) \times (-4) = -64$.