الرنين في الأعمدة الهوائية والأوتار (١)

يقوم الدرس على مبدأ الرنين في الأعمدة الهوائية والأوتار لتوليد وتضخيم الصوت. عندما تهتز شوكة رنانة فوق أنبوب هواء أو يهتز وتر مشدود، تنعكس الموجات وتتداخل لتكون موجات موقوفة ذات عقد وبطون. في الأنبوب المغلق، يكون أقصر طول رنين مساوياً لربع الطول الموجي، وتكون ترددات الرنين مضاعفات فردية للتردد الأساسي $f_1 = \frac{v}{4L}$، بينما في الأنبوب المفتوح والوتر تكون مضاعفات صحيحة للتردد الأساسي $f_1 = \frac{v}{2L}$. مثال ذلك: إذا كان لدينا أنبوب مغلق طول عمود هوائه $21.0\text{ cm}$ عند الرنين الأول و $65.3\text{ cm}$ عند الرنين التالي بتردد شوكة $392\text{ Hz}$، فيمكننا حساب سرعة الصوت في الهواء لتساوي $347\text{ m/s}$ باستخدام العلاقة بين فرق طولي عمودين ونصف الطول الموجي.

الفكرة الأساسية

تعتمد الفكرة على حدوث الرنين عندما يتوافق تردد قوة خارجية مع التردد الطبيعي لعمود هواء أو وتر، مما يؤدي إلى تضخيم سعة الاهتزاز وتكوين موجات موقوفة ذات عقد وبطون.

الشرح

ينتج الصوت عن اهتزاز الأجسام، وتتولد الموجات الموقوفة الطولية في الأعمدة الهوائية نتيجة انعكاس موجات الضغط. في الأنبوب المغلق، يكون عند الطرف المغلق عقدة إزاحة وبطن ضغط، وأقصر طول لعمود الهواء يحقق الرنين (التردد الأساسي) هو $L = \frac{1}{4}\lambda_1$، وتردده $f_1 = \frac{v}{4L}$، وتكون ترددات الرنين اللاحقة عبارة عن مضاعفات فردية $3f_1$ و $5f_1$ وهكذا. أما في الأنبوب المفتوح من الطرفين، فيكون عند الطرفين بطنان إزاحة وعقدتا ضغط، وأقصر طول يحقق الرنين هو $L = \frac{1}{2}\lambda_1$، وتردده $f_1 = \frac{v}{2L}$، وتكون ترددات الرنين اللاحقة مضاعفات صحيحة متتالية للتردد الأساسي $2f_1$ و $3f_1$ وهكذا. وبالنسبة للأوتار المشدودة من الطرفين، فعندما تهتز تتولد موجات موقوفة بطول أساسي يساوي نصف الطول الموجي $L = \frac{1}{2}\lambda_1$، وتردد أساسي $f_1 = \frac{v}{2L}$، وتعتمد سرعة الموجة في الوتر على قوة الشد الكتلة لوحدة الطول عبر العلاقة $v = \sqrt{\frac{F_T}{\mu}}$، وكلما زاد شد الوتر زادت سرعة الموجة وترددها.

مثال محلول خطوة بخطوة

إذا استُخدمت شوكة رنانة بتردد $392\text{ Hz}$ مع أنبوب مغلق، ماذاُمع أعلى صوت عندما كان طول عمود الهواء $L_A = 21.0\text{ cm}$ و $L_B = 65.3\text{ cm}$، فما سرعة الصوت؟ الخطوة الأولى: نكتب علاقة الفرق بين طولي رنين متتاليين في الأنبوب المغلق، حيث يساوي الفرق نصف الطول الموجي: $L_B - L_A = \frac{1}{2}\lambda$. الخطوة الثانية: نعيد ترتيب المعادلة لإيجاد الطول الموجي $\lambda = 2(L_B - L_A)$. نعوض بالقيم بعد تحويلها إلى أمتار: $\lambda = 2(0.653\text{ m} - 0.210\text{ m}) = 0.886\text{ m}$. الخطوة الثالثة: نستخدم قانون سرعة الموجة $v = f\lambda$. نعوض بالتردد والطول الموجي: $v = (392\text{ Hz})(0.886\text{ m}) = 347\text{ m/s}$.

أخطاء شائعة

الاعتقاد بأن أطوال الرنين في الأنبوب المغلق تتضمن أطوالاً موجية كاملة بدلاً من الأرباع والفترات التي تساوي نصف الطول الموجي، ونسيان تحويل الوحدات من السنتيمتر إلى الأمتار عند حساب السرعة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما تردد النغمة الناتجة عن أنبوب مغلق طوله $2.40\text{ m}$ علماً أن سرعة الصوت $343\text{ m/s}$؟ الإجابة: باستخدام قانون التردد الأساسي للأنبوب المغلق $f_1 = \frac{v}{4L} = \frac{343}{4(2.40)} = 35.7\text{ Hz}$. السؤال الثاني: ما النسبة بين طول الأنبوب المفتوح والطول الموجي للصوت لإنتاج الرنين الأول؟ الإجابة: الطول يساوي نصف الطول الموجي، إذن النسبة هي $L = \frac{1}{2}\lambda$ أو النسبة بين الطول إلى الطول الموجي تساوي $\frac{1}{2}$.