الحركة الدورية

تقوم الحركة الدورية على أساس تكرار الحركة في دورات منتظمة عبر المسار نفسه، مثل حركة النابض المرن أو البندول البسيط. يربط قانون هوك القوة المؤثرة في النابض بإزاحته عبر العلاقة $F = -kx$ حيث $k$ هو ثابت النابض، بينما تُحسب طاقة الوضع المرنة المخزنة فيه من العلاقة $PE_{sp} = \frac{1}{2}kx^2$. أما في البندول البسيط فيعتمد زمنه الدوري $T$ على طول خيطه وتسارع الجاذبية الأرضية وفق العلاقة $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. كمثال سريع، إذا علقنا جسماً يزن $56\text{ N}$ بنابض فاستطال مسافة $0.18\text{ m}$، فإن ثابت النابض يكون $k = \frac{56}{0.18} = 310\text{ N/m}$، وتكون طاقة الوضع المخزنة تساوي $PE_{sp} = \frac{1}{2}(310)(0.18)^2 = 5.0\text{ J}$.

الفكرة الأساسية

تدور فكرة الحركة الدورية حول تكرار الأجسام لحركتها في مسار منتظم وبصورة متعاقبة خلال أزمنة متساوية. عندما نسحب جسماً معلقاً بنابض مرن أو نبعد ثقل بندول عن موضع اتزانه ثم نتركه، تبدأ قوة إرجاع في جذبه نحو موضع الاتزان لتنشأ حركة توافقية بسيطة تتأرجح فيها الأجسام يميناً ويساراً أو صعوداً وهبوطاً.

الشرح

نبدأ بالنابض المرن؛ عندما نعلق جسماً بفضله يتمدد النابض مسافة معينة تسمى الإزاحة ويرمز لها بالرمز $x$. هنا يتدخل قانون هوك الذي ينص على أن القوة التي يؤثر بها النابض تتناسب طردياً مع مقدار استطالته، ويعبر عنها بالمعادلة $F = -kx$. الرمز $F$ يمثل القوة، والرمز $k$ يمثل ثابت النابض الذي يعتمد على صلابته وتقاس وحدته بـ $N/m$، بينما يمثل $x$ الإزاحة. الإشارة السالبة تعني أن القوة هي قوة إرجاع تعاكس اتجاه الإزاحة.

عند استطالة النابض، يتخزن فيه شغل على شكل طاقة وضع مرنة، ويمكن حسابها من المعادلة $PE_{sp} = \frac{1}{2}kx^2$، حيث تقاس طاقة الوضع بوحدة الجول $J$.

أما البندول البسيط فيتكون من ثقل كتلته كبيرة معلق بخيط طوله $l$. عندما نسحب الثقل جانباً ونتركه فإنه يتأرجح ذهاباً وإياباً بفعل قوة الإرجاع الناتجة عن مركبة قوة الجاذبية الأرضية. يعتمد الزمن الدوري $T$ للبندول (وهو الزمن الذي يحتاجه لإكمال دورة كاملة) على طول الخيط وتسارع الجاذبية الأرضية $g$ وفق المعادلة: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ولاحظ هنا أن الزمن الدوري للبندول لا يعتمد على كتلة الثقل ولا على سعة الاهتزازة.

وأخيراً يحدث الرنين عندما تؤثر قوة صغيرة في جسم متذبذب في فترات زمنية منتظمة مساوية للزمن الدوري، مما يؤدي إلى زيادة سعة الاهتزازة بشكل كبير.

مثال محلول خطوة بخطوة

ثابت النابض والطاقة المختزنة فيه استطال نابض إزاحة $18\text{ cm}$ عندما علق بنهايته كيس بطاطس وزنه $56\text{ N}$، احسب مقدار ثابت النابض وطاقة الوضع المرنة المختزنة في النابض.

الخطوة الأولى هي تحليل المسألة ورسمها: المعلوم: $x = 18\text{ cm}$ والتي يجب تحويلها بالقسمة على مئة لتصبح $0.18\text{ m}$، والقوة $F = 56\text{ N}$. المجهول: ثابت النابض $k$، وطاقة الوضع المرنة $PE_{sp}$.

الخطوة الثانية هي إيجاد الكمية المجهولة: أ) لحساب ثابت النابض $k$ نستخدم قانون هوك $F = -kx$ وبإهمال الإشارة السالبة لأنها تدل على الاتجاه فقط: $k = \frac{F}{x}$ $k = \frac{56\text{ N}}{0.18\text{ m}} = 310\text{ N/m}$

ب) لحساب طاقة الوضع المرنة $PE_{sp}$ نستخدم المعادلة: $PE_{sp} = \frac{1}{2}kx^2$ نعوض بالقيم الناتجة: $PE_{sp} = \frac{1}{2} (310\text{ N/m}) (0.18\text{ m})^2$ $PE_{sp} = 5.0\text{ J}$

أخطاء شائعة

1. إهمال تحويل الوحدات، مثل ترك الإزاحة بالسنتيمتر بدلاً من تحويلها إلى الأمتار قبل التعويض في القوانين.
2. نسيان تربيع الإزاحة $x$ عند حساب طاقة الوضع المرنة في قانون $PE_{sp} = \frac{1}{2}kx^2$.
3. الاعتقاد الخاطئ بأن كتلة ثقل البندول تؤثر على زمنه الدوري، بينما تؤكد المعادلة أن الزمن الدوري يعتمد فقط على طول الخيط وتسارع الجاذبية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: ما مقدار استطالة نابض عند تعليق جسم وزنه $18\text{ N}$ في نهايته إذا كان ثابت النابض له يساوي $56\text{ N/m}$؟ الإجابة: نستخدم قانون هوك $x = \frac{F}{k}$ إذن الاستطالة تساوي $\frac{18}{56} = 0.32\text{ m}$.

السؤال الثاني: ما طول بندول موجود على سطح الأرض حيث تسارع الجاذبية $9.8\text{ m/s}^2$ حتى يكون زمنه الدوري يساوي $2.0\text{ s}$؟ الإجابة: من معادلة الزمن الدوري $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ بتربيع الطرفين نحصل على $l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$، وبالتعويض: $l = \frac{(2.0)^2 (9.8)}{4 (3.14)^2} = 0.99\text{ m}$.