حفظ الطاقة (٣)

يقوم حفظ الطاقة على مبدأ أن الطاقة لا تفنى ولا تستحدث من العدم، بل تحول من شكل إلى آخر داخل النظام المعزول، بحيث تبقى الطاقة الكلية ثابتة. انظر إلى حركة كرة تتحرك على مسار منحن أو ترتفع وتهبط: عندما تقترب الكرة من الأرض، يقل ارتفاعها فتقل طاقة وضعها الجاذبية، وفي المقابل تزداد سرعتها فتزداد طاقتها الحركية بالقدر نفسه، بحيث يظل مجموع هاتين الطاقتين ثابتا طوال الحركة إذا أهملنا الاحتكاك. هذا يعني أن أي نقصان في طاقة الوضع يظهر مباشرة على شكل زيادة في الطاقة الحركية، والعكس صحيح تماما.

الفكرة الأساسية

الطاقة الكلية لنظام معزول ومحافظ تبقى ثابتة لا تتغير. عندما يتحرك جسم داخل النظام، تتحول الطاقة باستمرار بين طاقة حركية وطاقة وضع، لكن المجموع الكلي للطيقات يبقى ثابتا في كل لحظة.

الشرح

انظر إلى النظام الميكانيكي: إذا سقط جسم من أعلى، فإنه يفقد ارتفاعا عن سطح الأرض، وهذا يعني تناقص طاقة الوضع الجاذبية لديه وفق العلاقة المرتبطة بالكتلة وارتفاعه. لكن هذا الفقد لا يضيع، بل يتحول إلى سرعة متزايدة، مما يرفع طاقة الحركة. المجموع الذي يمثل الطاقة الميكانيكية للنظام يحقق ثباتا تاما طالما أننا نعمل في بيئة خالية من قوى الاحتكاك أو مقاومة الهواء. لو حسبت طاقة الوضع الابتدائية مضافا إليها الطاقة الحركية الابتدائية، لوجدت أنها تساوي تماما طاقة الوضع النهائية مضافا إليها الطاقة الحركية النهائية.

مثال محلول خطوة بخطوة

تستقر صكرة كتلتها $20\text{ kg}$ على حافة منحدر ارتفاعه $100\text{ m}$ كما في الشكل. إذا سقطت الصخرة، فما مقدار سرعتها لحظة ارتطامها بالأرض؟

الخطوة الأولى: نحدد المعطيات من المسألة: الكتلة $m = 20\text{ kg}$ الارتفاع الابتدائي $h = 100\text{ m}$ السرعة الابتدائية $v_i = 0\text{ m/s}$ (لأنها بدأت من السكون) تسارع الجاذبية $g = 9.8\text{ m/s}^2$

الخطوة الثانية: نطبق قانون حفظ الطاقة الميكانيكية. الطاقة الكلية في الأعلى تساوي الطاقة الكلية عند الأرض. $E_{ki} + U_i = E_{kf} + U_f$ بما أن السرعة الابتدائية صفر، فإن الطاقة الحركية الابتدائية تساوي صفرا. وعند الأرض يصبح الارتفاع صفرا، فتكون طاقة الوضع النهائية صفرا. إذا تصبح المعادلة: $U_i = E_{kf}$

الخطوة الثالثة: نفكك القوانين رمزيا: $mgh = \frac{1}{2}mv_f^2$ يمكننا اختصار الكتلة $m$ من الطرفين لأنها لا تساوي صفرا: $gh = \frac{1}{2}v_f^2$

الخطوة الرابعة: نعوض بالأرقام لنستخرج السرعة النهائية $v_f$: $(9.8)(100) = \frac{1}{2}v_f^2$ $980 = 0.5 v_f^2$ $v_f^2 = \frac{980}{0.5} = 1960$ $v_f = \sqrt{1960} \approx 44.27\text{ m/s}$

أخطاء شائعة

• إهمال تأثير الاحتكاك في المسائل الواقعية واعتبار الطاقة محفوظة كليا بينما يوجد شغل مبذول بواسطة الاحتكاك يتبدد على شكل حرارة.
• الخلط بين الارتفاع الابتدائي والارتفاع النهائي عند تعويض قيم طاقة الوضع.
• نسيان تربيع السرعة في قانون الطاقة الحركية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: سقط كتاب فيزياء كتلته مجهولة من ارتفاع $4.50\text{ m}$. ما مقدار سرعة الكتاب لحظة ارتطامه بالأرض؟ الإجابة: نطبق قانون حفظ الطاقة باختصار الكتلة: $gh = \frac{1}{2}v_f^2$. إذن $v_f = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 4.50} = \sqrt{88.2} = 9.39\text{ m/s}$.

السؤال الثاني: صخرة كتلتها $2.0\text{ kg}$ في حالة سكون، ثم سقطت إلى الأرض ففقدت $407\text{ J}$ من طاقة وضعها. ما مقدار الطاقة الحركية التي اكتسبتها الصخرة بسبب سقوطها؟ الإجابة: الطاقة المفقودة في طاقة الوضع تتحول كاملة إلى طاقة حركية في حال إهمال الاحتكاك. إذن الطاقة الحركية المكتسبة تساوي الطاقة المفقودة، وتساوي $407\text{ J}$.