المتجهات

أحيانًا تحتاج لتمثّل أشياء لها مقدار واتجاه، مثل القوة التي تدفع بها صندوقًا أو الإزاحة من مكان لآخر. هذه هي "المتجهات". لماذا هي مهمة؟ لأنها تخبرك بأكثر من مجرد "كم" (مقدار)، بل "إلى أين" (اتجاه) أيضًا.

لو دفعت صندوقًا بقوة ٥ نيوتن باتجاه الشرق، هذه قوة متجهة. ولو دفعتها بـ ٥ نيوتن باتجاه الشمال، فهذه قوة متجهة أخرى. كل واحدة لها نفس المقدار، لكن اتجاهها مختلف.

أهم قانون هنا هو "نظرية فيثاغورس" لكنها للمتجهات، والتي تستخدمها إذا أردت أن تعرف مقدار المحصلة لمتجهين متعامدين. إذا كان عندك متجه "أ" ومتجه "ب" يشكلان زاوية قائمة، فإن مقدار المتجه المحصل "ر" يُحسب كالتالي: ر تربيع = أ تربيع + ب تربيع.

فلو قطعت طريقًا 3 أمتار شرقًا، ثم 4 أمتار شمالًا، فالمسافة المباشرة التي قطعتها من نقطة البداية إلى النهاية هي 5 أمتار. هذه الخمسة أمتار هي المحصلة، وهي ناتجة عن المسافة الشرقية والمسافة الشمالية. هذه النظرية توضح هذا بالضبط.

أحيانًا تكون المتجهات ليست متعامدة، وهنا نستخدم "قانون جيب التمام" أو "قانون الجيب" لحساب المحصلة وزاويتها. وهذه القوانين تمكننا من التعامل مع المتجهات في أي وضع.

لنبدأ اليوم بموضوع المتجهات، وهو شيء مهم جداً في الفيزياء.

الفكرة الأساسية

لو قطعت 100 متر في 20 ثانية، فأنت تقطع 5 أمتار كل ثانية — هذه سرعتك. والقانون يقول هذا بالضبط. لكن ماذا لو كنت تتحرك في اتجاه معين؟ هل السرعة وحدها تكفي لوصف حركتك؟

تخيل لو تريد أن تدفع صندوقاً، هل يفرق مكان الدفع؟ نعم، يفرق. لأن القوة لها مقدار ولها اتجاه. لو دفعت الصندوق بقوة مقدارها 50 نيوتن، فهذا لا يكفي لوصف ما سيحدث للصندوق. يجب أن تعرف "في أي اتجاه" دفعت.

في الدرس الماضي، تعلمنا عن الكميات القياسية، وهي الكميات التي يكفي تحديد مقدارها فقط. مثل درجة الحرارة: 30 درجة مئوية. أو الزمن: 5 ثوانٍ. لا يهم الاتجاه هنا.

لكن كثير من الكميات في الفيزياء نحتاج أن نعرف مقدارها و "اتجاهها" معاً. مثل الإزاحة: 5 أمتار شرقاً. أو القوة: 10 نيوتن باتجاه الشمال. هذه الكميات نسميها "المتجهات".

انظر إلى الشكل: السيارة تبعد مسافات متساوية في أزمنة متساوية، ولهذا نقول إن سرعتها ثابتة. لكن لو غيرت اتجاهها، هل نقول إن سرعتها تغيرت؟ نعم، لأن السرعة المتجهة تعتمد على الاتجاه أيضاً.

فالفكرة الأساسية هي أن بعض الكميات الفيزيائية لا يكفي تحديد مقدارها فقط، بل يجب تحديد اتجاهها أيضاً، وهذه نسميها "المتجهات".

المفاهيم والقوانين

ما هو المتجه؟ المتجه هو كمية فيزيائية لها مقدار ولها اتجاه. نمثل المتجه بسهم، طول السهم يمثل مقدار المتجه، واتجاه السهم يمثل اتجاه المتجه. نقطة بداية السهم هي نقطة تأثير المتجه، ورأس السهم يشير إلى الاتجاه.

كيف نجمع المتجهات؟ إذا كان لدينا أكثر من متجه، ونريد معرفة المحصلة، فماذا نفعل؟ انظر إلى الشكل: لو تحركت سيارة 40N في اتجاه الشمال، ثم تحركت 80N في نفس الاتجاه، فكم تكون إزاحتها الكلية؟ ببساطة نجمع 40N + 80N = 120N في اتجاه الشمال. هنا المتجهان في نفس الاتجاه.

لكن ماذا لو تحركت 40N في اتجاه الشمال، ثم 80N في اتجاه معاكس (الجنوب)؟ في هذه الحالة، الإزاحة الكلية تكون 80N - 40N = 40N في اتجاه الجنوب.

هذه طريقة بسيطة لجمع المتجهات التي تقع على خط مستقيم واحد (في بعد واحد).

نظرية فيثاغورس (Pythagorean Theorem): إذا كان لدينا متجهان متعامدان (الزاوية بينهما 90 درجة)، ونريد إيجاد مقدار المتجه المحصل (R). القانون يقول: R² = A² + B². هذا يعني أن مربع مقدار المحصلة يساوي مجموع مربعي مقداري المتجهين. تخيل أنك تمشي 3 أمتار شرقاً (A = 3) ثم 4 أمتار شمالاً (B = 4). كم تبعد عن نقطة البداية؟ المحصلة R تكون: R² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. إذن R = جذر 25 = 5 أمتار.

قانون جيب التمام (Law of Cosines): إذا كان المتجهان ليسا متعامدين، أي الزاوية بينهما ليست 90 درجة، فكيف نجد مقدار المحصلة؟ القانون يقول: R² = A² + B² - 2AB cos θ. هنا R هو مقدار المتجه المحصل. A هو مقدار المتجه الأول. B هو مقدار المتجه الثاني. و θ (ثيتا) هي الزاوية بين المتجهين. انتبه، هذه الزاوية هي الزاوية المحصورة بين المتجهين عندما يكونان لهما نقطة بداية واحدة.

قانون الجيب (Law of Sines): بعد أن نجد مقدار المتجه المحصل بقانون جيب التمام، نحتاج أحياناً لمعرفة اتجاهه. القانون يقول: R / sin θ = A / sin α = B / sin β. هنا α (ألفا) هي الزاوية المقابلة للمتجه A، و β (بيتا) هي الزاوية المقابلة للمتجه B. نستخدم هذا القانون لإيجاد الزوايا التي تحدد اتجاه المتجه المحصل.

مركبات المتجهات (Components of Vectors): يمكننا تحليل أي متجه إلى مركبتين متعامدتين: مركبة أفقية (على محور x) ومركبة رأسية (على محور y). تخيل أنك تسحب صندوقاً بحبل بقوة مائلة. هذه القوة يمكن تحليلها إلى قوة تسحب الصندوق أفقياً، وقوة تحاول رفعه للأعلى. إذا كان لدينا متجه A يصنع زاوية θ مع المحور الأفقي (x). فمركبته الأفقية Ax = A cos θ. ومركبته الرأسية Ay = A sin θ. هذا مهم جداً لجمع المتجهات غير المتعامدة، حيث نحلل كل متجه إلى مركباته ثم نجمع المركبات المتشابهة.

جمع المتجهات جبرياً (Algebraic Addition of Vectors): لجمع المتجهات التي لها عدة اتجاهات، نتبع الخطوات التالية:

1. حلل كل متجه إلى مركباته الأفقية والرأسية. إذا كان لديك المتجه A، فسيكون له Ax و Ay. إذا كان لديك المتجه B، فسيكون له Bx و By. وهكذا لكل المتجهات.
2. اجمع المركبات الأفقية معاً والمركبات الرأسية معاً. Rx = Ax + Bx + Cx +... (للمركبات الأفقية) Ry = Ay + By + Cy +... (للمركبات الرأسية) حيث Rx هي المركبة الأفقية للمتجه المحصل R، و Ry هي المركبة الرأسية للمتجه المحصل R.
3. أوجد مقدار المتجه المحصل R. بما أن Rx و Ry مركبتان متعامدتان، نستخدم نظرية فيثاغورس: R = جذر (Rx² + Ry²).
4. أوجد زاوية المتجه المحصل θ. نستخدم دالة الظل (tan): tan θ = Ry / Rx. إذن θ = tan⁻¹ (Ry / Rx). تذكر أن الآلة الحاسبة تعطي الزاوية المرجعية، وقد تحتاج لضبطها حسب الربع الذي تقع فيه المركبتان.

مثال محلول خطوة بخطوة

لنأخذ مثالاً: إزاحتان، الأولى 25 km والثانية 15 km، والزاوية بينهما 135 درجة. نريد إيجاد مقدار الإزاحة المحصلة.

1. تحليل المسألة ورسمها:

• نرسم المتجهين A و B. A مقدارها 25 km، و B مقدارها 15 km.
• الزاوية بينهما θ = 135°.
• المطلوب: R (مقدار المتجه المحصل).

2. إيجاد الكمية المجهولة:

• بما أن الزاوية بين المتجهين ليست 90 درجة، نستخدم قانون جيب التمام.
• R² = A² + B² - 2AB cos θ
• نعوض بالقيم: A = 25 km B = 15 km θ = 135°
• R² = (25 km)² + (15 km)² - 2 (25 km) (15 km) cos (135°)
• R² = 625 + 225 - (750) (-0.707) (قيمة cos 135° هي -0.707 تقريباً)
• R² = 850 + 530.25
• R² = 1380.25
• R = جذر (1380.25)
• R ≈ 37 km

3. تقويم الجواب:

• هل الوحدات صحيحة؟ نعم، كيلومترات.
• هل الإشارات معنى؟ نعم، cos 135° سالب، وهذا منطقي لأن المتجهين يميلان ليكونان في اتجاهين متعاكسين نوعاً ما، مما يقلل من المحصلة لو كانا في نفس الاتجاه.
• هل الجواب منطقي؟ لو كانا في نفس الاتجاه لكان 40 km. لو كانا متعاكسين لكان 10 km. 37 km رقم قريب من المتجه الأكبر (25 km)، وهذا منطقي لأن الزاوية كبيرة.

الأخطاء الشائعة

1. خلط الكميات القياسية بالمتجهة: لا تخلط بين السرعة (كمية قياسية) والسرعة المتجهة (كمية متجهة). السرعة هي مقدار السرعة المتجهة.
2. استخدام نظرية فيثاغورس لمتجهات غير متعامدة: نظرية فيثاغورس R² = A² + B² تستخدم فقط عندما تكون الزاوية بين المتجهين 90 درجة. إذا لم تكن 90 درجة، يجب استخدام قانون جيب التمام.
3. عدم الانتباه لاتجاه الزاوية في قانون جيب التمام: الزاوية θ في قانون جيب التمام R² = A² + B² - 2AB cos θ هي الزاوية بين المتجهين عندما يكون لهما نفس نقطة البداية (أو عندما نضعهما ذيل على ذيل).
4. نسيان الإشارات السالبة عند حساب المركبات: عند حساب Ax = A cos θ و Ay = A sin θ، تأكد من أن الزاوية θ صحيحة بالنسبة للمحور الموجب x، فقد تكون قيم cos θ أو sin θ سالبة حسب الربع الذي يقع فيه المتجه، وهذا مهم جداً في تحديد اتجاه المركبات.
5. عدم تحديد الاتجاه بعد حساب مقدار المحصلة: عندما يطلب منك إيجاد متجه المحصلة، فالمطلوب هو المقدار والاتجاه. لا تنسَ حساب الزاوية باستخدام tan⁻¹ (Ry / Rx)، وتحديد الربع الصحيح للزاوية.
6. أخطاء في العمليات الحسابية: استخدام الآلة الحاسبة بشكل خاطئ أو أخطاء في الضرب والقسمة والجذور التربيعية.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال 1: قطعت سيارة 125.0 km في اتجاه الغرب، ثم 65.0 km في اتجاه الجنوب. ما مقدار إزاحتها؟ حل المسألة بطريقة الرسم وبطريقة الحسابية.

الإجابة 1:

• طريقة الرسم: ارسم متجه 125.0 km أفقياً لليسار (الغرب). من نهاية المتجه الأول، ارسم متجه 65.0 km رأسياً للأسفل (الجنوب). المتجه المحصل هو الخط الواصل من نقطة البداية إلى نقطة النهاية للمتجه الثاني.
• الطريقة الحسابية:
• بما أن المتجهين متعامدان (الغرب والجنوب)، نستخدم نظرية فيثاغورس.
• R² = (125.0)² + (65.0)²
• R² = 15625 + 4225
• R² = 19850
• R = جذر (19850)
• R ≈ 140.89 km
• لإيجاد الاتجاه، نستخدم دالة الظل: tan θ = Ry / Rx = 65.0 / 125.0 = 0.52 θ = tan⁻¹ (0.52) ≈ 27.47°
• الاتجاه هو 27.47° جنوب الغرب.
• إذن، الإزاحة المحصلة للسيارة هي 140.89 km بزاوية 27.47° جنوب الغرب.

السؤال 2: سار شخص 4.5 km في اتجاه ما، ثم انعطف بزاوية 45° في اتجاه اليمين، وسار مسافة 6.4 km. ما مقدار إزاحته؟

الإجابة 2:

• الطريقة الحسابية:

• هنا المتجهان ليسا متعامدين، لذلك نستخدم قانون جيب التمام.

• نفترض أن المتجه الأول A = 4.5 km.

• والمتجه الثاني B = 6.4 km.

• الزاوية بين المتجهين (بعد انعطاف الشخص) هي 45°. هذه هي الزاوية θ بين المتجهين.

• R² = A² + B² - 2AB cos θ

• R² = (4.5)² + (6.4)² - 2 (4.5) (6.4) cos (45°)

• R² = 20.25 + 40.96 - 2 (28.8) (0.707) (قيمة cos 45° هي 0.707 تقريباً)

• R² = 61.21 - 40.72

• R² = 20.49

• R = جذر (20.49)

• R ≈ 4.53 km

• لإيجاد الاتجاه، نحتاج لاستخدام قانون الجيب، أو تحليل المتجهات إلى مركبات. لنعتبر الاتجاه الأول هو محور x.

• Ax = 4.5 km، Ay = 0 km

• Bx = 6.4 cos (-45°) = 6.4 * 0.707 = 4.52 km (الزاوية -45 لأنها لليمين من الاتجاه الأصلي)

• By = 6.4 sin (-45°) = 6.4 * -0.707 = -4.52 km

• Rx = Ax + Bx = 4.5 + 4.52 = 9.02 km

• Ry = Ay + By = 0 + (-4.52) = -4.52 km

• R = جذر (9.02² + (-4.52)²) = جذر (81.36 + 20.43) = جذر (101.79) ≈ 10.09 km (هنا يوجد اختلاف في الرقم، وسببه أننا أخذنا الزاوية بين المتجهين 45 مباشرة، بينما في الرسم هي 180-45=135)

• لنعد الحل باستخدام الزاوية الصحيحة للمتجه B وهي -45° من محور x الموجب. إذا كان المتجه A على محور x.

• هنا المسألة تتطلب تحديد الاتجاه "في اتجاه ما". لو فرضنا أن الاتجاه الأول هو الشمال.

• المتجه A: 4.5 km شمالاً (0, 4.5)

• المتجه B: انعطف 45 درجة لليمين (شرق الشمال). أي زاوية 45 درجة من الشمال نحو الشرق.

• لتحويلها إلى إحداثيات (x,y) من محور x الموجب، تكون الزاوية 90-45=45 درجة.

• Ax = 4.5 cos(90) = 0

• Ay = 4.5 sin(90) = 4.5

• Bx = 6.4 cos(45) = 6.4 * 0.707 = 4.52

• By = 6.4 sin(45) = 6.4 * 0.707 = 4.52

• Rx = 0 + 4.52 = 4.52

• Ry = 4.5 + 4.52 = 9.02

• R = جذر (4.52² + 9.02²) = جذر (20.43 + 81.36) = جذر (101.79) ≈ 10.09 km

• tan θ = Ry / Rx = 9.02 / 4.52 ≈ 1.99

• θ = tan⁻¹ (1.99) ≈ 63.3° من الشرق نحو الشمال.

• ملاحظة: المسألة صعبة بسبب عدم وضوح الزاوية "انعطف 45 درجة في اتجاه اليمين" بالنسبة للمتجه الثاني. إذا كانت الزاو