حل المعادلات والمتباينات الأسية

يقوم حل المعادلات والمتباينات الأسية على فكرة أساسية وهي توحيد الأساسات في طرفي المعادلة أو المتباينة، بحيث إذا تساوت الأساسات الموجبة المخالفة للواحد، تساوت الأسس. فمثلاً لحل المعادلة $2^x = 8^3$، نكتب الرقم $8$ على صورة $2^3$ لتصبح المعادلة $2^x = (2^3)^3$ أي $2^x = 2^9$، ومنها نستنتج مباشرة أن $x = 9$. كما يعتمد الدرس على كتابة دوال نمو أو اضمحلال أسية لتطبيقها على مسائل واقع الحياة مثل نمو الخلايا البكتيرية وحساب الربح المركب، بالإضافة إلى استخدام خصائص التباين لدوال النمو والاضمحلال في حل المتباينات الأسية بمقارنة الأسس مباشرة بعد جعل الأساسات متشابهة.

الفكرة الأساسية

تعتمد فكرة حل المعادلات والمتباينات الأسية على جعل الأساسات في كلا الطرفين متساوية، مستفيدين من حقيقة أن الدوال الأسية هي دوال متباينة. فإذا كان لدينا أساس موجب $b$ لا يساوي $1$، فإن تساوت القيمتان $b^x = b^y$ فهذا يقتضي تماماً أن الأسس متساوية أي $x = y$، والعكس صحيح. أما في المتباينات، فإن كانت دوال نمو حيث الأساس أكبر من $1$، فإن $b^x > b^y$ تعني $x > y$، بينما في دوال الاضمحلال حيث الأساس محصور بين $0$ و$1$، فإن $b^x > b^y$ تعني انعكاس إشارة التباين لتصبح $x < y$.

الشرح

لحل أي معادلة أسية، ابحث أولاً عن إمكانية كتابة الأعداد الموجودة في طرفي المعادلة على صورة أسس لها أساس مشترك. انظر إلى المعادلة $2^x = 8^3$؛ الطرف الأيمن أساسه $2$ والطرف الأيسر أساسه $8$. بما أن $8$ تساوي $2^3$، نعوض بها ليصبح الطرف الأيسر $(2^3)^3$. حسب خصائص الأسس، عند رفع قوة إلى قوة نضرب الأسس، فينتج $2^9$. الآن تطابق الأساس $2$ في الطرفين، فنلغي الأساسات ونساوي الأسس لنصل إلى الناتج $x = 9$.

في مسائل واقع الحياة، يمكننا كتابة دالة أسية على الصورة $y = ab^x$ لتفسير النمو أو الاضمحلال. لمعرفة قيم الثوابت، نعوض بنقاط المعلومات المعطاة في المسألة، مثل التعويض بالزمن $x = 0$ لإيجاد قيمة المقطع $a$، ثم التعويض بقيمة أخرى لإيجاد أساس النمو أو الاضمحلال $b$. كما نستعمل قانون الربح المركب $A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt}$ لحساب المبالغ المستقبلية في المشاريع التجارية، حيث يُمثّل $A$ المبلغ الكلي، و$P$ المبلغ الأصلي، و$r$ معدل الربح السنوي المكتوب على صورة عشرية، و$n$ عدد مرات إضافة الأرباح في السنة، و$t$ الزمن بالسنوات.

أما في المتباينات الأسية، فنتبع نفس الخطوات بتحليل الأعداد إلى أساسات مشتركة، ثم نطبق خاصية التباين بدقة مع الانتباه لكون الأساس أكبر من $1$ (تحافظ على إشارة التباين) أو محصوراً بين $0$ و$1$ (تعكس إشارة التباين).

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المعادلة الأسية الآتية: $9^{2x-1} = 36^x$

الخطوة الأولى: نكتب الطرفين بأساس مشترك إن أمكن، أو نلاحظ أن العدد $9$ يمكن كتابته على صورة $3^2$، ولكن $36$ لا يمكن جعله أساساً مباشراً بالطريقة البسيطة، لذا نكتب العدد $9$ على صورة $3^2$ وتصبح المعادلة كالتالي: $(3^2)^{2x-1} = 36^x$ (ملاحظة من الكتاب في مثال 1 الفرع b): المعادلة الأصلية هي $9^{2x-1} = 36^x$ وتكتب على صورة: $(3^2)^{2x-1} = 36^x$ باستخدام خاصية قوة القوة (ضرب الأسس في بعضها): $3^{4x-2} = 36^x$ وهنا قد نحتاج لتحليل الأعداد بشكل دقيق، أو مراجعة خطوات الكتاب حيث يظهر حل المثال بتحليل الطرفين بحيث يتم الوصول لأساس مشترك أو أخذ اللوغاريتمات لاحقاً، ولكن ضمن نطاق هذا الدرس نعتمد على مطابقة الأساسات بحسب ما يرد في الأمثلة المباشرة.

لنأخذ مثالاً أوضح وأدق من الكتاب مباشرة: حل المعادلة: $2^x = 8^3$

1. المعادلة الأصلية: $2^x = 8^3$
2. نكتب العدد $8$ على صورة أس للعدد $2$ وهو $2^3$: $2^x = (2^3)^3$
3. نطبق خاصية قوة القوة بضرب الأسس: $2^x = 2^9$
4. نطبق خاصية المساواة للدوال الأسية بتسوية الأسس: $x = 9$

أخطاء شائعة

1. نسيان تحويل النسبة المئوية للربح المركب إلى كسر عشري قبل التعويض في القانون، مثل كتابة $4.2$ بدلاً من $0.042$.
2. عدم الانتباه لانعكاس إشارة التباين عند حل المتباينات الأسية التي يكون فيها الأساس كسراً محصوراً بين $0$ و$1$.
3. محاولة جمع أو طرح الأسس عندما تكون الأساسات غير متساوية في طرفي المعادلة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل المعادلة الأسية الآتية: $5^{x-6} = 125$ الإجابة: $x = 9$

السؤال الثاني: حل المتباينة الأسية الآتية: $2^{5y - 3} \leq (\frac{1}{125})^{y + 3}$ الإجابة: $y \leq -1.5$