صفحة ٢٠٣
انظر إلى فقرة لماذا في أعلى الصفحة؛ يُعرّف المستطيل الذهبي وتظهر النسبة بين طوله وعرضه بعبارة جذرية تتضمن الكسر . الهدف هنا هو تبسيط مثل هذه العبارات باستخدام خواص العمليات على الجذور. انظر إلى صندوق مفهوم أساسي: خاصية ضرب الجذور. القاعدة تقول إن جذر حاصل ضرب عددين حقيقيين و لدليل جذر نوني يساوي حاصل ضرب جذر كل منهما على حدة، أي ، بشرط أن تكون الجذور معرفة. خذ مثالاً رقمياً بسيطاً مثل ، وفقاً للخاصية تصبح ، وجذرها التربيعي هو . انظر الآن إلى مثال واحد، الفقرة : لتبسيط العبارة ، حلل العدد إلى عوامل أولية مرفوعة لأسس تقبل القسمة على دليل الجذر وهو اثنان هنا، فيكتب على صورة أو ، والمتغير هو . طبق الخاصية بتوزيع الجذر على كل عامل، فيخرج العامل المربع من تحت الجذر بقيمته المطلقة أو بأس مقسوم على اثنين، فتصبح النتيجة . انتقل إلى الفقرة ، الدليل هنا هو أربعة، ولدينا العبارة . حلل العدد إلى ، والمتغير إلى لأن يقبل القسمة على أربعة، أما فيكتب على صورة لأن أقرب أس أصغر من ثلاثة عشر ويقبل القسمة على أربعة هو اثنا عشر. وزّع الجذر النوني على هذه العوامل، فتخرج العوامل التي أسسها أربعة خارج الجذر بينما يبقى الباقي تحت الجذر، لتكون النتيجة النهائية . لاحظ التنبيه الموجود أسفل المثال حول ضرورة كتابة القيمة المطلقة أو ضمان أن تكون المتغيرات موجبة لتفادي الأخطاء عند استخراج الأسس الفردية من جذور زوجية.
صفحة ٢٠٤
انظر إلى صندوق مفهوم أساسي في أعلى الصفحة: خاصية قسمة الجذور. القاعدة تنص على أنه لأي عددين حقيقيين و حيث ولأي عدد صحيح أكبر من واحد، فإن جذر النسبة يساوي نسبة الجذرين، أي ، بشرط أن تكون جميع الجذور معرفة. انظر إلى المثال الرقمي المجاور، جذر ستة عشر على تسعة يساوي جذر ستة عشر مقسوماً على جذر تسعة، أي أربعة على ثلاثة. ماذا لو كان المقام يحوي جذراً أو كسوراً؟ هنا نتعلم عملية تسمى إطناب المقام، وهي ضرب البسط والمقام في مقدار يجعل أسس الثوابت والمتغيرات تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر لتسهيل إيجاد الجذر الدقيق. انظر إلى مثال اثنين، الفقرة : لتبسيط العبارة ، وزع الجذر على البسط والمقام أولاً لتصبح . حلل ما تحت الجذر في البسط إلى وفي المقام إلى . اخرج المربعات خارج الجذر فتصبح . الآن تخلص من الجذر في المقام عبر إنطاقه بضرب البسط والمقام في ، فتصبح النتيجة النهائية بعد التبسيط . انظر إلى الفقرة التي تستخدم دليلاً رابعاً للجزور، وطبق نفس الخطوات بالاستعانة بخاصية قسمة الجذور ثم ضرب البسط والمقام في الجذر المناسب للوصول إلى أبسط صورة.
صفحة ٢٠٥
انظر إلى ملخص المفاهيم في أعلى الصفحة؛ فهو يضع الشروط الأربعة لتكون العبارة الجذرية في أبسط صورة ممكنة: ألا يكون دليل الجذر أكبر ما يمكن، وألا يتضمن ما تحت الجذر عوامل غير العدد واحد يمكن كتابتها على صورة قوى نونية لعدد صحيح أو كثيرة حدود، وألا يتضمن ما تحت الجذر كسوراً، وألا توجد جذور في المقام. انتقل إلى مثال ثلاثة لتطبيق خاصية ضرب العبارات الجذرية ذات الجذور النونية، مثل ضرب العبارة . ابدأ بضرب الثوابت خارج الجذور بعضها ببعض، واضرب ما تحت الجذور معاً تحت جذر تكعيبي واحد لتصبح العبارة تحت الجذر . حلل هذه الأعداد إلى عواملها الأولية لتسهيل استخراجها من تحت الجذر التكعيبي، فالعدد اثنا عشر هو تحليل لاثنين أوس اثنين في ثلاثة، وادب الثمانية عشر هو اثنان في ثلاثة أوس اثنين. اجمِع الأسس للأسس المتشابهة لتصبح الأسس من مضاعفات الثلاثة، ثم أخرج العوامل التي تقبل قسمة أسسها على ثلاثة خارج الجذر التكعيبي، واضرب الثوابت الناتجة ببعضها لتصل إلى أبسط صورة وهي سالب تسعين تربيع. انتقل إلى قسم جمع العبارات الجذرية وطرحها في أسفل الصفحة، والقاعدة هنا تشبه جمع وحيدات الحد، شرط أن تكون الجذور متشابهة، أي لها نفس الدليل ونفس المقدار تحت الجذر. انظر إلى مثال أربعة لتبسيط العبارة . بسط كل جذر على حدة بتحليله إلى عوامل مربعة، فجذر ثمانية وتسعين يكتب كجذر حاصل ضرب تسع وأربعين في اثنين، وجذر اثنين وثلاثين يكتب كجذر ستة عشر في اثنين. أخرج الجذور المربعة للعددين لتصبح العبارة سبعة جذر اثنين ناقص ثمانية جذر اثنين. اطرح المعاملات لأن الجذور متشابهة، فتكون النتيجة سبعة ناقص ثمانية في جذر اثنين، أي سالب جذر اثنين.
صفحة ٢٠٦
انظر إلى مثال خمسة في أعلى الصفحة لضرب العبارات الجذرية التي تتكون من ثنائيات حد، مثل ضرب القوس في القوس . استخدم خاصية التوزيع تماماً كما تفعل في ضرب كثيرات الحدود. اضرب الحد الأول من القوس الأول في حدي القوس الثاني، ثم اضرب الحد الثاني من القوس الأول في حدي القوس الثاني. احسب كل ناتج على حدة لتتحول العبارة إلى أربعة جذر ثلاثة في ثلاثة جذر اثنين ناقص أربعة جذر ثلاثة في ستة زائد خمسة جذر اثنين في ثلاثة جذر اثنين زائد خمسة جذر اثنين في سالب ستة. بسط كل حد بضرب الأعداد الصحيحة ببعضها وضرب ما تحت الجذور ببعضها، لتصبح الجذور كالتالي: اثنا عشر جذر ستة ناقص أربعة وعشرون جذر ثلاثة زائد ثلاثين ناقص ثلاثين جذر اثنين. انتقل إلى مثال ستة من واقع الحياة لاستعمال المرافق لإنطاق المقام. انظر إلى الكسر . لكي تتخلص من الجذر في المقام، اضرب البسط والمقام في مرافق المقام وهو القوس نفسه بعكس إشارة الوسط، أي . في المقام، حاصل ضرب عددين مترافقين يساوي مربع الأول ناقص مربع الثاني، أي جذر خمسة تربيع ناقص واحد تربيع، وهو ما يعادل خمسة ناقص واحد وتساوي اربعة. في البسط، اشرع في ضرب العدد اثنين في القوس لتصبح العبارة اثنين في جذر خمسة زائد واحد. اختصر العدد اثنين مع الأربعة في المقام لتصل إلى أبسط صورة وهي جذر خمسة زائد واحد الكل على اثنين.
صفحة ٢٠٧
هذه الصفحة مخصصة لتدريبات متنوعة على درس العمليات على العبارات الجذرية. انظر إلى قسم تدرب وحل المسائل؛ تجد تمارين مرتبة حسب أفكار الأمثلة السابقة. في التمارين من ستة عشر إلى ثلاثة وعشرين، المطلوب تبسيط عبارات جذرية تحتوي على متغيرات وثوابت، حيث تُحلل الأعداد إلى عواملها وتُوزع الأسس لاستخراج ما يمكن استخراجه من تحت الجذر. في التمارين من أربعة وعشرين إلى خمسة وعشرين، المطلوب جمع وطرح عبارات جذرية، وهنا يجب عليك تبسيط كل جذر أولاً والبحث عن الجذور المتشابهة لجمع معاملاتها. في التمارين من سبعة وعشرين إلى ثلاث وستين، لديك ضرب ثنائيات حد جذرية وضرب وقسمة عبارات تتطلب إنطاق المقام باستخدام المرافق. انظر إلى المسألة رقم تسعة وثلاثين في التطبيقات الحية، حيث ترتبط كتلة التفاحة بقطرها عبر الدالة الجذرية ، والمطلوب إيجاد قطر تفاحة كتلتها أربع وستون أونصة بالتعويض بالرقم في الدالة. انظر إلى التمرين رقم أربعة والأربعين الخاص بالتمثيلات المتعددة، وفيه يُطلب منك إثبات طول قطعة مستقيمة هندسياً باستخدام نظرية فيثاغورس على ورقة نقطية، ثم التعبير عن جمع أطوال القطع واستنتاج مساحة المربع بناءً على أطوال أضلاعه الجذرية.
صفحة ٢٠٨
انظر إلى أعلى الصفحة في قسم مسائل مهارات التفكير العليا. في التمرن رقم خمسة وأربعين، في سؤال اكتشف الخطأ، انظر إلى حل كل من خالد وناصر للعبارة الجذرية ، وحدد أيهما حل المسألة بشكل صحيح رياضياً مع توضيح السبب. في التمرين رقم ستة وأربعين، يطلب منك تبيين أن العدد المعطى هو جذر تكعيبي للعدد واحد عبر تعويضه أو حسابه. في التمرين رقم سبعة وأربعين، فكر في قيم المتغير التي تجعل العبارة الجذرية عددًا حقيقياً وفسر إجابتك رياضياً بناءً على تعريف مجموعة الأعداد الحقيقية. في التمرين رقم ثمانية وأربعين، ابحث عن عدد صحيح غير الواحد بحيث يكون جذره التربيعي والتكعيبي والرايع عدداً كلياً موجباً. في التمرين رقم تسعة وأربعين، اكتب موضحاً متى يكون وضع رمز القيمة المطلقة ضرورياً أو غير ضروري في ناتج تبسيط الجذر النوني لبارة ما. انتقل إلى قسم تدريب على اختبار، وفيه اختر الإجابة الصحيحة للعبارة التي تكافئ من بين الخيارات الأربعة المتاحة. في أسفل الصفحة تجد قسم مراجعة تراكمية، وهو تدريب على مهارات سابقة درستها، مثل تبسيط عبارات جذرية، وتمثيل مبيانات متباينات، وحل معادلات كثيرة حدود من درجات مختلفة، وحل مسألة لفظية عن أرباح شركات لصناعة القوارب.
