صفحة ١١٧
انظر إلى عرض شركة الاتصالات في أعلى الصفحة: لو دفعت ٣٠ ريالاً شهرياً بالإضافة إلى ٠.٣٠ ريال لكل دقيقة، فإن التكلفة الشهرية تُمثَّل بالمعادلة . هذه تسمى صيغة الميل والمقطع لمعادلة المستقيم وتُكتب على الصورة حيث هو الميل و هو مقطع المحور . أما إذا عُلِم ميل المستقيم وأحداثي أي نقطة عليه، فنستعمل صيغة الميل ونقطة وهي . في المثال الأول، اكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع إذا كان الميل ومقطع المحور هو . عوض عن بـ وعن بـ فتصبح المعادلة . للتمثيل بيانياً، ابدأ بتعيين مقطع المحور عند ثم استخدم الميل الذي يساوي لتحديد نقطة أخرى بالانتقال ٣ وحدات للأعلى ووحدة واحدة إلى اليمين.
صفحة ١١٨
في المثال الثاني، مطلوب كتابة معادلة مستقيم بصيغة الميل والمقطع ونقطة إذا كان ميله ومرّ بالنقطة . استخدم صيغة الميل ونقطة وعوّض عن بـ وعن بـ وعن بـ . انتبه لعملية التعويض بإحداثيات سالبة واستعمل الأقواس لتجنب الوقوع في أخطاء الإشارات، فتصبح المعادلة والتي تبسط إلى . للتمثيل بيانياً، عيّن النقطة ثم استعمل الميل للانتقال ٣ وحدات لأسفل و٤ وحدات إلى اليمين. في المثال الثالث، إذا لم يُعطَ الميل بل عُطيت نقطتان، فاحسب الميل أولاً باستعمال قانون الميل ثم استعمل صيغة الميل ونقطة لكتابة المعادلة.
صفحة ١١٩
في المثال الرابع، مطلوب كتابة معادلة المستقيم الأفقي الذي يمر بالنقطتين و. احسب الميل أولاً بقانون الميل فينتج صفر على سبعة ويساوي صفراً. الآن استخدم صيغة الميل ونقطة مع والنقطة فيصبح لديك والتي تبسط إلى . انظر إلى مفهوم أساسي للمعادلات الأفقية والرأسية: معادلة المستقيم الأفقي هي حيث مقطع المحور ، ومعادلة المستقيم الرأسي هي حيث مقطع المحور . في المثال الخامس، أوجد معادلة المستقيم العمودي على المستقيم والمار بالنقطة . بما أن ميل المستقيم المعطى هو فإن ميل المستقيم العمودي عليه يساوي مقلوبّه مع عكس الإشارة أي . عوض بالميل والنقطة في صيغة الميل والمقطع لإيجاد .
صفحة ١٢٠
في مثال ستة من واقع الحياة، لدينا عرضان لشركة اتصالات. العرض يبدأ برسوم مقدارها ٢٠ ريالاً مع ٣٥ هللة لكل دقيقة اتصال، ومعادلته . والعرض يبدأ برسوم ٣٠ ريالاً مع ٣٠ هللة لكل دقيقة اتصال، ومعادلته . لمقارنة العرضين، نمثل المعادلتين بيانياً. من التمثيل البياني، يظهر أن خط العرض يبدأ من نقطة أقل على المحور الرأسي لكن ميله أكبر، بينما خط العرض يبدأ من نقطة أعلى وميله أقل. يتقاطع الخطان عند نقطة تمثل تساوي التكلفة للعرَضين وهي عند ٢٠٠ دقيقة اتصال حيث تصبح التكلفة ٩٠ ريالاً لكليهما. إذا كان عدد الدقائق أقل من ٢٠٠ دقيقة، فتكون تكلفة العرض أقل، وإذا زاد عن ٢٠٠ دقيقة، فتكون تكلفة العرض أقل.
صفحة ١٢١
هذه صفحة تمارين ومسائل تبدأ بفقرة تأكد لتطبيق ما تعلمته في الأمثلة. في التمارين من ١ إلى ٣، المطلوب كتابة معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع بمعلومية الميل والمقطع المعطى لكل فقرة ثم تمثيلها بيانياً؛ فمثلاً في التمرين الأول الميل والمقطع هو فتكتب مباشرة بصيغة لتصبح . في التمارين من ٤ إلى ٦، المطلوب كتابة المعادلة بصيغة الميل ونقطة مستخدماً الميل والنقطة المعطاة. وفي التمارين من ٧ إلى ١٢، عُطيت نقطتان أو معلومات عن التوازي والتعامد ومطلوب إيجاد المعادلة. اقرأ المعطيات في كل سؤال بعناية، وحدد الصيغة المناسبة للحل، وتأكد من تطبيق القوانين بدقة دون التسرع في إيجاد النواتج النهائية.
صفحة ١٢٢
تستمر التمارين في هذه الصفحة وتتنوع لتشمل حالات مختلفة من معادلات المستقيم. في الأسئلة من ٣١ إلى ٣٤، عليك إيجاد معادلة المستقيم الممثل بيانيناً أو المار بنقطتين معطاهتين باستعمال قانون الميل وصيغة الميل ونقطة. في الأسئلة من ٣٥ إلى ٣٦، استخدم المقطع من المحورين لإيجاد الصيغة المطلوبة. في الأسئلة من ٣٧ إلى ٤٠، تدرب على إيجاد معادلات مستقيمات متوازية أو متعامدة مستفيداً من فكرة تساوي الميل للمستقيمات المتوازية، أو أن حاصل ضرب ميليهما يساوي للمستقيمات المتعمدة. وفي المسائل الحياتية كالأسئلة ٤١ و٤٢، ترجم المعطيات اللفظية إلى معادلات خطية بصيغة الميل والمقطع تماماً كما رأيت في الأمثلة المحلولة سابقاً.
صفحة ١٢٣
في بداية الصفحة، حدد ما إذا كان المستقيمان في كل زوج متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك، وذلك بمقارنة ميليهما لكل معادلة. في السؤال ٥٠، اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ويوازي المستقيم . تذكر أن المستقيمين المتوازيين لهما نفس الميل، إذن استخدم الميل مع النقطة المعطاة. في سؤال ٥٢ عن صناعة الفخار، أنشئ معادلة تمثل التكلفة الكلية لعملية الاشتراك وعدد الأكياس المستعملة. في فقرة مسائل مهارات التفكير العليا، فكّر بعمق في الأسئلة مثل سؤال ٥٧ اكتشف الخطأ، حيث تحتاج إلى تتبع حل كل من راكان وفايصل لمعرفة من منهما قام بالتعويض الصحيح والإشارة السليمة، واشرح سبب خطأ الآخر بناءً على القواعد الرياضية التي درستها.
صفحة ١٢٤
هذه صفحة تدريب على اختبار ومراجعة تراكمية. في السؤال ٥٩ و٦٠ من تدريب على اختبار، يطلب منك اختيار المعادلة الصحيحة لمستقيم يمر بنقطة معينة ويعامد مستقيماً آخر معطى معادلته؛ فابدأ بتحديد ميل المستقيم المعطى، ثم أوجد ميله العمودي بعكس مقلوبه، وبعدها جرب الخيارات أو استخدم صيغة الميل ونقطة للوصول إلى الإجابة الصحيحة. في قسم المراجعة التراكمية، أوجد ميل المستقيم المار بنقطتين باستعمال قانون الميل، أو أوجد قيمة المتغير في أشكال الزوايا مستفيداً من خصائص التوازي والتعامد والزوايا المتبادلة أو المتطابقة التي درستها في الدروس السابقة لتتمكن من حل المعادلات الخطية الناتجة.
صفحة ١٢٥
هذه صفحة توسع بعنوان معمل الهندسة وتتناول معادلة العمود المنصف. المطلوب في النشاط هو إيجاد معادلة العمود المنصف للقطعة المستقيمة إذا كان طرفاها هما النقطتان و. للحل اتبع الخطوات الأربع المنظمة: الخطوة الأولى، بما أن منصف القطعة المستقيمة يمر بنقطة منتصفها، فاستعمل صيغة نقطة المنتصف لتجد نقطة منتصف . الخطوة الثانية، أوجد ميل القطعة المستقيمة ثم أوجد ميل العمود المنصف باعتباره مقلوب ميل بعكس الإشارة. الخطوة الثالثة، استعمل صيغة الميل ونقطة مع نقطة المنتصف والميل الجديد لكتابة معادلة العمود المنصف بصيغة الميل والمقطع. الخطوة الرابعة، تحقق من الحل بتمثيل المستقيم بيانيًا. حل التمارين في أسفل الصفحة بنفس الطريقة الخطواتية.
