4: توصيف البيانات عن طريق الإحصاءات (الجزء الأول)

يقوم هذا الدرس على تلخيص البيانات الكثيرة برقم واحد يمثل مركزها، مستخدماً مقاييس النزعة المركزية. الوسط الحسابي يجمع القيم ويقسمها على عددها، والوسيط يتربع في منتصف القيم المرتبة، بينما المنوال يدل على القيمة الأكثر تكراراً. انتبه دائماً للقيم المتطرفة، فهي تسحب المتوسط الحسابي خلفها وتجعله مضللاً، وحينها يكون الوسيط هو الممثل الأدق. مثال سريع: إذا كانت لديك درجات أربع مواد هي 60 و70 و80 و90، فالوسط الحسابي هو مجموعها (300) مقسوماً على 4 ليساوي 75، والوسيط هو القيمة التي في المنتصف بين 70 و80 وتساوي 75، وليس هناك منوال لأن كل رقم ظهر مرة واحدة.

الفكرة الأساسية

تلخيص كميات ضخمة من البيانات في رقم واحد يعبر عن مركزها أو مكانتها ليساعد على اتخاذ القرار، وذلك عبر مقاييس النزعة المركزية مثل الوسط الحسابي والوسيط والمنوال.

الشرح

نحتاج أحياناً إلى فهم البيانات دون الغرق في تفاصيلها الفردية، وهنا يأتي دور مقاييس النزعة المركزية لتلخيص القصة برقم واحد.

أولاً: الوسط الحسابي (Mean). قانونه هو مجموع قيم العناصر مقسوماً على عدد عناصر العينة. نرمز لعدد العناصر بالرمز $n$، وللقيم الفردية بـ $x_1, x_2,..., x_n$، وللمتغير بـ $x$. أما حرف اليوناني $\Sigma$ فيعني المجموع. تصبح المعادلة هكذا: $\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{x_1 + x_2 +... + x_n}{n}$

ثانياً: الوسيط (Median). هو القيمة التي تقسم مجموعة البيانات المنتظمة إلى شطرين متساويين تماماً. نحصل عليه بترتيب القيم تصاعدياً من الأصغر للأكبر. إن كان عدد العناصر $n$ فردياً، فالوسيط هو القيمة الوسطى مباشرة. وإن كان $n$ زوجياً، نأخذ الرقمين الوسطيين في القائمة المرتبة ونحسب متوسطهما.

ثالثاً: المنوال (Mode). هو القيمة الأكثر تكراراً في مجموعة البيانات، وقد لا يكون هناك منوال إذا لم تتكرر أي قيمة.

مثال محلول خطوة بخطوة

خذ مجموعة القيم التالية: 2، 2، 3، 4، 5.

1. لحساب المتوسط الحسابي: اجمع القيم واقسمها على عددها ($n=5$). المجموع يساوي 16. إذن المتوسط = $\frac{16}{5} = 3.2$.
2. لحساب الوسيط: القيم مرتبة تصاعدياً وجاهزة (2، 2، 3، 4، 5). عدد القيم فردي (5)، إذن القيمة التي في المنتصف تماماً هي الرقم 3. فالوسيط = 3.
3. لحساب المنوال: ابحث عن القيمة الأكثر تكراراً. الرقم 2 تكرر مرتين، وباقي الأرقام ظهرت مرة واحدة. إذن المنوال = 2.

أخطاء شائعة

• نسيان ترتيب القيم تصاعدياً قبل استخراج الوسيط، مما يضع قيمة خاطئة في المنتصف.
• الاعتماد الأعمى على المتوسط الحسابي في وجود قيم طرفية (Outlier) وهي قيمة أعلى بكثير أو أقل بكثير من باقي القيم، مما يسحب المتوسط نحوه ويجعله ممثلاً سيئاً للبيانات، والحل هنا هو استخدام الوسيط.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: احسب الوسيط لمجموعة البيانات التالية بعد ترتيبها: 12، 5، 20، 8، 15. الإجابة: نرتبها أولاً تصاعدياً: 5، 8، 12، 15، 20. بما أن عددها 5 (فردي)، فالقيمة الوسطى هي الرقم الثالث. إذن الوسيط = 12.

السؤال الثاني: إذا كان لديك درجات طلاب في اختبار قصير كالتالي: 10، 10، 7، 9، 14، فما هو المنوال؟ الإجابة: المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً. الرقم 10 تكرر مرتين بينما باقي الأرقام لم تتكرر. إذن المنوال = 10.