١-١ المعادلات

المعادلة هي جملة رياضية تحتوي على عبارات جبرية ورموز، وتتضمن إشارة المساواة، وحلها يعني إيجاد قيم المتغير التي تجعل الجملة صحيحة. للحل، نبسط العبارات باستعمال ترتيب العمليات وخصائص الأعداد حتى نعزل المتغير في طرف لوحده. فمثلا لو كان لدينا المعادلة ٢ك + ٥ = ١٣ وعوضنا عن ك بالقيمة ٤، فإن الطرفين يتساويان وتصبح الجملة صحيحة، إذن ٤ هو حل المعادلة وتكون مجموعة الحل هي مجموعة العناصر التي تحقق المعادلة. بعض المعادلات لها حل وحيد، وبعضها ليس لها حل أبداً ويرمز لمجموعة حلها بالرمز $\varnothing$ ويقرا فاي، بينما المتطابقة هي معادلة تكون صحيحة لجميع قيم المتغير ويكون حلها مجموعة الأعداد الحقيقية. كما يمكن حل المعادلات التي تحتوي على متغيرين باستعمال جدول للقيم والتعويض لإيجاد قيم المتغير الثاني.

الفكرة الأساسية

تتعلم اليوم كيف تتعامل مع المعادلات، وهي جمل رياضية تحتوي على عبارات جبرية وإشارة المساواة. الفكرة تكمن في إيجاد القيمة المجهولة أو المتغير الذي يجعل هذه الجملة صحيحة، تماما مثل معرفة عدد الأهداف المسجلة في مباراة كرة القدم لتكتمل النتيجة الرياضية الصحيحة.

الشرح

المعادلة هي جملة رياضية تحتوي على عبارات جبرية ورموز وتتضمن إشارة المساواة ($=$). الجملة المفتوحة هي جملة رياضية تحتوى على عبارات جبرية ورموز. عملية إيجاد قيم المتغير التي تجعل الجملة صحيحة تسمى حل الجملة المفتوحة، ومجموعة هذه الحلول تسمى مجموعة الحل. مجموعة التعويض هي مجموعة الأعداد التي نعوض بها عن قيمة المتغير لتحديد مجموعة الحل. المجموعة هي تجمع أشياء أو أعداد تكتب غالبا بين القوسين $\{\}$, ويفصل بين كل منها بالرمز $(,)$، ويسمى كل منها عنصرا. عندما تحل معادلة، فأنت تبسط الطرفين باستخدام ترتيب العمليات وخصائص الأعداد مثل خاصية التوزيع وخاصية الإبدال في الضرب حتى تعزل المتغير. بعض المعادلات لها حل وحيد، وبعضها ليس لها حل أبدا، ويرمز لمجموعة الحل في هذه الحالة بالرمز $\varnothing$ ويقرأ فاي. أما المتطابقة فهي معادلة تكون صحيحة لجميع قيم المتغير فيها، ويكون حلها مجموعة الأعداد الحقيقية. وإذا احتوت المعادلة على متغيرين، فمن المفيد تكوين جدول للقيم واستعمال التعويض لإيجاد قيم المتغير الثاني.

مثال محلول خطوة بخطوة

حل المعادلة: $٢ك + ٥ = ١٣$ إذا كانت مجموعة التعويض هي $\{٢, ٣, ٤, ٥, ٦\}$ الخطوة الأولى: أنشئ جدولا يحتوي على عمود لقيم المتغير ك، وعمود للعبارة $٢ك + ٥$، وعمود لتحديد صحة الجملة. الخطوة الثانية: عوض عن ك بالقيمة الأولى $٢$ فيصبح الطرف الأيسر $٢(٢) + ٥ = ٩$ وهذا لا ي等於 $١٣$ فالإجابة خطأ. الخطوة الثالثة: عوض بالقيمة $٣$ فيصبح الناتج $٢(٣) + ٥ = ١١$ وهذا لا يساوي $١٣$ فالإجابة خطأ. الخطوة الرابعة: عوض بالقيمة $٤$ فيصبح الناتج $٢(٤) + ٥ = ٨ + ٥ = ١٣$ وهذا يساوي الطرف الأيسر تماما، فالإجابة صحيحة. الخطوة الخامسة: بالتجربة لبقية القيم ($٥$ و$٦$) تجد أن النتائج خاطئة. إذن حل المعادلة هو ك $= ٤$، وتكون مجموعة الحل هي $\{٤\}$.

أخطاء شائعة

نسيان تطبيق ترتيب العمليات بالشكل الصحيح داخل أحد طرفي المعادلة قبل محاولة عزل المتغير، مثل إجراء الجمع قبل الأقواس أو الأسس. الخلط بين حل المعادلة الذي يعطي قيمة وحيدة، وبين المتطابقة التي تكون صحيحة لأي قيمة للمتغير. الاعتقاد بأن المعادلة التي لا يوجد لها حل يمكن كتابتها بأي رمز عشوائي بدلا من الرمز المخصص $\varnothing$.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد مجموعة الحل لكل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض هي $\{١, ٢, ٣, ٥, ١٠\}$: أ) ن $+ ١٠ = ٢٣$ ب) أ ب $= ٢٨$ إذا كانت أ $= (١ + د)$ الإجابة: أ) مجموعة الحل هي $\{١٣\}$ (ملاحظة: إذا لم تكن القيمة ضمن مجموعة التعويض وتأكدت من التعويض، جرب القيم المتاحة، وهنا ن $= ١٣$). ب) مجموعة الحل هي مجموعة التعويض للدال أو بالتجربة.

السؤال الثاني: حل كل معادلة فيما يأتي: أ) ٧م $- ٧ = ١٧ - ٨م$ ب) ٣(ب $+ ١$) $- ٥ = ٣ب - ٢$ الإجابة: أ) م $= ٨$ ب) بما أن الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر دائما بعد التبسيط، فالإجابة هي مجموعة الأعداد الحقيقية لأنها متطابقة.