مساحات الأشكال المركبة

يقوم الدرس على إيجاد مساحة الأشكال المركبة، وهي أشكال تتكون من شكلين بسيطين أو أكثر مثل المربعات، والمستطيلات، والمثلثات، وأشباه المنحرفات، والدوائر. تعتمد الفكرة الأساسية على تقسيم الشكل المركب إلى أشكال بسيطة مألوفة، ثم إيجاد مساحة كل جزء باستخدام القوانين المناسبة، ثم جمع المساحات معاً للحصول على المساحة الكلية. وأحياناً يكون الشكل ناتجاً عن قص أشكال من أخرى، وهنا نوجد مساحة الشكل الكلي ثم نطرح منها مساحة الأجزاء المقصوصة. مثال سريع: إذا كان لدينا شكل مركب مكوناً من مستطيل مساحته $60$ سنتيمتراً مربعاً ومثلث مساحته $2$ سنتيمتراً مربعاً، فإن مساحة الشكل الكلية تكون مجموعهما وتساوي $58$ سنتيمتراً مربعاً إذا كان طَرْحاً، أو $62$ سنتيمتراً مربعاً إذا كان جَمْعاً بحسب تصميم الشكل.

الفكرة الأساسية

الشكل المركب هو شكل يتكون من شكلين بسيطين أو أكثر، مثل متوازي الأضلاع، والمثلث، وشبه المنحرف، والمربع، والمستطيل، والدائرة. لإيجاد مساحة شكل مركب، نقسمه إلى أشكال بسيطة يسهل إيجاد مساحاتها، ثم نجمع هذه المساحات، أو نطرحها إذا كان الشكل ناتجاً عن قص أجزاء.

الشرح

نبدأ بالتعرف على القوانين الأساسية للمساحة:

• مساحة متوازي الأضلاع: م = ق ع (حيث ق القاعدة، ع الارتفاع).
• مساحة المثلث: م = $\frac{1}{2}$ ق ع.
• مساحة شبه المنحرف: م = $\frac{1}{2}$ ع (ق_١ + ق_٢).
• مساحة الدائرة: م = ط نق$^٢$.
• مساحة نصف الدائرة: $\frac{1}{2}$ × مساحة الدائرة.

عند التعامل مع الأشكال المركبة، ننظر إلى الشكل لنحدد الأجزاء التي يتكون منها. إذا كان الشكل عبارة عن تجمع أشكال، نحسب مساحة كل شكل على حدة ثم نجمع النتائج. وإذا كان الشكل ناتجاً عن إزالة أجزاء مثل قص مثلثات من مستطيل، فنحسب مساحة الشكل الكلي أولاً، ثم نحسب مساحة الأجزاء المقصوصة ونطرحها من المساحة الكلية.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد مساحة الشكل المركب المكون من نصف دائرة ومثلث، حيث طول قاعدة المثلث ١١ متراً، وارتفاعه ٦ أمتار، ونصف قطر نصف الدائرة ٣ أمتار.

• الخطوة ١: نقسم الشكل إلى قسمين: نصف دائرة ومثلث.
• الخطوة ٢: نجد مساحة نصف الدائرة باستخدام القانون م = $\frac{1}{2}$ ط نق$^٢$. نعوض عن نق بـ ٣ فيصبح الناتج م = $\frac{1}{2}$ × ط × ٣$^٢$ = ١٤,١ متراً مربعاً تقريباً.
• الخطوة ٣: نجد مساحة المثلث باستخدام القانون م = $\frac{1}{2}$ ق ع. نعوض عن القاعدة بـ ١١ والارتفاع بـ ٦ فيصبح الناتج م = $\frac{1}{2}$ × ١١ × ٦ = ٣٣ متراً مربعاً.
• الخطوة ٤: نجمع المساحتين: المساحة الكلية = ١٤,١ + ٣٣ = ٤٧,١ متراً مربعاً تقريباً.

أخطاء شائعة

• نسيان ضرب القاعدة في الارتفاع ثم القسمة على ٢ عند حساب مساحة المثلث أو شبه المنحرف.
• الخلط بين قوانين المحيط وقوانين المساحة واستخدام الجمع للأطوال بدلاً من تطبيق قوانين المساحة الصحيحة.
• نسيان تربيع نصف القطر عند حساب مساحة الدائرة.
• الخطأ في تحديد أبعاد الأجزاء المقصوصة عند حساب المساحة المظللة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

• السؤال الأول: أوجد مساحة شكل مركب يتكون من مستطيل طوله ١٢ سم وعرضه ٥ سم، ملتصق به من الأعلى مثلث قاعدة ارتفاعه ١ سم وقاعدته مساوية لطول المستطيل.
• الإجابة: مساحة المستطيل = ٦٠ سم$^٢$. مساحة المثلث = ٦ سم$^٢$. المساحة الكلية = ٦٦ سم$^٢$.
• السؤال الثاني: أوجد مساحة منطقة مظللة نتجت عن قص ٤ مثلثات متطابقة مساحة كل منها ٢ سم$^٢$ من مستطيل مساحته ٦٠ سم$^٢$.
• الإجابة: مساحة الأجزاء المقصوصة = ٤ × ٢ = ٨ سم$^٢$. مساحة المنطقة المظللة = ٦٠ - ٨ = ٥٢ سم$^٢$.