٦-١ جمع الأعداد النسبية ذات المقامات المختلفة وطرحها

الفكرة الاساسية لجمع الاعداد النسبية أو طرحها عندما تكون مقاماتها مختلفة تعتمد على توحيد المقامات أولا قبل إجراء عملية الجمع أو الطرح. لا يمكنك جمع أجزاء مختلفة الأحجام مباشرة، تماما كما لا يمكنك جمع الأرباع مع الأثلاث إلا بعد تحويلها إلى أجزاء متساوية باستخدام المضاعف المشترك الأصغر للمقامين. بعد توحيد المقامات، يصبح جمع أو طرح البسطين أمرا سهلا مع إبقاء المقام موحدا كما هو، ثم تبسيط الناتج إلى أبسط صورة ممكنة. مثال سريع: لإيجاد ناتج $\frac{1}{4} + (-\frac{2}{3})$، نوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين 4 و3 وهو 12، فنكتب الكسرين بالمقام الجديد ليصبحا $\frac{3}{12} + (-\frac{8}{12})$، ثم نجمع البسطين فيكون الناتج $-\frac{5}{12}$.

الفكرة الأساسية

لجمع أو طرح عددين نسبيين لهما مقامان مختلفان، لا بد أولا من إعادة كتابتهما بكسور مكافئة لها نفس المقام. نفعل ذلك بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين، تماما كما نتوحد على وحدة قياس واحدة لنتمكن من الجمع بدقة.

الشرح

تخيل أن لديك قطع بيتزا مقسمة بطرق مختلفة؛ بعضها لأرباع وبعضها لأثلاث. لكي تجمعها معا، تحتاج إلى توحيد حجم القطع أولا. في الرياضيات، نتبع نفس الخطوات تماما لجمع أو طرح الأعداد النسبية ذات المقامات المختلفة:

1. نحلل مقامي الكسرين إلى عواملهما الأولية لنوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين.
2. نكتب الكسرين باستعمال هذا المقام المشترك.
3. نجمع البسطين أو نطرحهما معا حسب الإشارة، ونترك المقام المشترك كما هو.
4. نضع الناتج في أبسط صورة إن كان قابلا للتبسيط. وفي حالة وجود أعداد كسرية، يمكننا جمع أو طرح الأجزاء الكسرية وحدها والأجزاء الصحيحة وحدها بعد توحيد المقامات، أو تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعالة أولا.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد ناتج $\frac{1}{4} + (-\frac{2}{3})$ في أبسط صورة.

• الخطوة الأولى: نحدد المقامين وهما 4 و3. نجد المضاعف المشترك الأصغر لهما وهو 12.
• الخطوة الثانية: نكتب الكسرين بالمقام الجديد 12. نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 3 ليصبح $\frac{3}{12}$، ونضرب بسط ومقام الكسر الثاني في 4 ليصبح $-\frac{8}{12}$.
• الخطوة الثالثة: تصبح العبارة $\frac{3}{12} + (-\frac{8}{12})$.
• الخطوة الرابعة: نجمع البسطين هكذا: $3 + (-8) = -5$ مع بقاء المقام 12.
• الناتج النهائي هو $-\frac{5}{12}$ وهو في أبسط صورة.

أخطاء شائعة

• جمع المقامات أو طرحها مباشرة مع البسط، مثل كتابة $\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{2}{7}$، وهذا خطأ جسيم لأن المقامات لا تجمع ولا تطرح بل توحد.
• نسيان تبسيط الناتج النهائي إلى أبسط صورة بعد إتمام عملية الجمع أو الطرح.
• الأخطاء في إشارات الأعداد الصحيحة عند جمع أو طرح الأعداد النسبية السالبة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد ناتج $\frac{3}{4} + \frac{1}{14}$ في أبسط صورة. الإجابة: المضاعف المشترك الأصغر للمقامين 4 و14 هو 28. نكتب الكسرين بالمقام 28 ليصبحا $\frac{21}{28} + \frac{2}{28}$، ثم نجمع البسطين فيكون الناتج $\frac{23}{28}$.

السؤال الثاني: أوجد ناتج $-\frac{5}{12} + \frac{5}{8}$ في أبسط صورة. الإجابة: المضاعف المشترك الأصغر للمقامين 12 و8 هو 24. نكتب الكسرين بالمقام 24 ليصبحا $-\frac{10}{24} + \frac{15}{24}$، ثم نجمع البسطين ليصبح الناتج $\frac{5}{24}$.