١-١ الأعداد النسبية
انظر إلى جدول أنواع سمك القرش وأطوالها. للاجابة عن السؤال الأول، ابحث في عمود متوسط الطول عن الأعداد التي تقل عن ٦ أقدم، ثم اكتب الكسر الذي يمثل عدد أنواعها بالنسبة للمجموع الكلي لأنواع القرش في الجدول. تذكر أن العدد النسبي هو كل عدد يمكن كتابته على صورة كسر بحيث يكون أ وب عددين صحيحين ولا يساوي المقام صفراً. لاحظ في الرسم الهرمي أن الأعداد الكسرية والكسور الاعتيادية والأعداد الصحيحة تقع جميعها تحت مظلة الأعداد النسبية، ويمكنك دائماً تحويل أي كسر إلى صورة كسر عشري بالقسمة.
العدد النسبي هو أي عدد يمكن كتابته على صورة كسر اعتيادي بحيث يكون العددان صحيحين والمقام لا يساوي صفراً. يعتمد هذا الدرس على التحويل بين الكسور الاعتيادية والكسور العشرية، والعكس صحيح. فالكسر الاعتيادي مثل يمكن تحويله إلى كسر عشري بقسمة البسط على المقام ليصبح وهو كسر عشري منتهٍ لأن باقي القسمة يساوي صفراً. أما إذا تكررت أرقام الناتج بصورة منتظمة، فنسمى ذلك كسراً عشرياً دورياً ونضع شرطة أفقية فوق الأرقام المتكررة للدلالة على ذلك. كما يمكن تحويل الكسور العشرية المنتهية والدورية إلى كسور اعتيادية بوضع الجزء عشري على مقامه المناسب وتبسيطه، أو باستخدام طريقة تكوين معادلة بفرض متغير وحل النظام الرياضي كما يحدث مع الكسور الدورية.
الفكرة الأساسية
العدد النسبي هو كل عدد يمكن كتابته على صورة كسر اعتيادي بحيث يكون كل من أ وب عدداً صحيحاً، والمقام ب لا يساوي صفراً. تتضمن الفكرة الأساسية القدرة على تحويل الأعداد بين صورتها الكسرية الاعتيادية وصورتها العشرية المنتهية أو الدورية.
الشرح
عندما تريد تحويل كسر اعتيادي إلى كسر عشري، فإنك تقسم البسط على المقام مستخدماً القسمة المطولة. مثلاً تحويل يعني قسمة وتحصل على الناتج وتسمى هذه القسمة منتهية لأن الباقي يكون صفراً. أما إذا استمرت القسمة وتكررت الأرقام بنمط ثابت دون أن تنتهي، فهذا يسمى كسراً عشرياً دورياً، وتكتب فوق الأرقام المتكررة شرطة أفقية مثل للدلالة على تكرار الرقم ثلاثة بلا نهاية. وفي المقابل، لتحويل كسر عشري منتهٍ إلى كسر اعتيادي، ضع القيمة على مقام من قوى العدد عشرة بحسب عدد المنازل مثل ثم بسطه إلى أبسط صورة بالقسمة على القواسم المشتركة. أما الكسر الدوري فيمكن تحويله بكتابته على صورة معادلة بفرض متغيّر مثل س، ثم ضرب الطرفين في عشرة أو مئوية بحسب المنازل المتكررة وطرح المعادلة الأصلية للتخلص من الجزء الدوري وإيجاد قيمة س على صورة كسر اعتيادي.
مثال محلول خطوة بخطوة
اكتب الكسر الاعتيادي على صورة كسر عشري. الخطوة الأولى: اعتبر الكسر عملية قسمة للبسط على المقام، أي . الخطوة الثانية: أجرِ القسمة المطولة بقسمة العدد خمسة على ثمانية بإضافة فاصلة عشرية وأصفار في المقسوم. الخطوة الثالثة: الناتج بعد إجراء القسمة المطولة هو وباقي القسمة يساوي صفراً تماماً. النتيجة: الكسر الاعتيادي يساوي الكسر العشري المنتهي .
أخطاء شائعة
يكتب بعض الطلاب الشرطة الأفقية فوق العدد كاملاً أو في مكان خاطئ عند التعامل مع الكسور العشرية الدورية، مثل كتابة والصواب هو وضع الشرطة فوق الجزء المتكرر فقط هكذا . كما يخطئ البعض أحياناً في عدم تبسيط الكسر الاعتيادي الناتج إلى أبسط صورة بعد تحويله من كسر عشري.
سؤالان للتدريب مع الإجابة
السؤال الأول: اكتب الكسر الاعتيادي على صورة كسر عشري. الإجابة: . السؤال الثاني: اكتب الكسر العشري على صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة. الإجابة: .