حجم الأسطوانة

لحساب حجم الأسطوانة، نحن نحتاج ببساطة إلى معرفة مساحة قاعدتها الدائرية وضربها في ارتفاعها. الأسطوانة تشبه رصّ طبقات دائرية فوق بعضها، حيث تدلنا مساحة القاعدة الواحدة على كمية المكعبات في الطبقة، والارتفاع يحدد عدد هذه الطبقات. القانون الرياضي هو ح = ط نق^{2} ع، حيث ح هو الحجم، وط قيمتها التقريبية 3.14، ونق هو نصف قطر القاعدة، وع هو الارتفاع. مثال: إذا كان لدينا أسطوانة نصف قطر قاعدتها 5 سم وارتفاعها 8.3 سم، فإننا نربع نصف القطر (25)، ثم نضربه في ط (3.14) وفي الارتفاع (8.3) لنحصل على الحجم التقريبي وهو 651.9 سم^{3}.

الفكرة الأساسية

حساب الحجم لأي أسطوانة يعتمد على فكرة بسيطة: مساحة القاعدة الدائرية مضروبة في الارتفاع. تخيل أنك تضع طبقات من المكعبات الصغيرة فوق بعضها لتكون الأسطوانة، فمساحة القاعدة تعطينا عدد المكعبات في الطبقة الواحدة، والارتفاع يخبرنا بعدد تلك الطبقات الكلي.

الشرح

لحساب حجم الأسطوانة (ح) نستخدم العلاقة: ح = مساحة القاعدة × الارتفاع. بما أن القاعدة دائماً دائرة، فإن مساحتها تُحسب بالقانون: ط × نق^{2}. إذن القانون النهائي لحجم الأسطوانة هو: ح = ط نق^{2} ع. تأكد دائماً قبل البدء من أن المعطى في السؤال هو نصف القطر (نق) وليس القطر كاملاً، فإذا كان القطر معطى، اقسمه على اثنين أولاً.

مثال محلول خطوة بخطوة

لدينا أسطوانة نصف قطر قاعدتها 5 سم، وارتفاعها 8.3 سم. احسب حجمها مقرباً إلى أقرب عشر:

1. اكتب القانون: ح = ط نق^{2} ع.
2. عوض بالقيم: ح = ط × (5)^{2} × 8.3.
3. احسب مربع نصف القطر: (5)^{2} = 25.
4. اضرب القيم: ح = 3.14 × 25 × 8.3.
5. الناتج النهائي: ح ≈ 651.9 سم^{3}.

أخطاء شائعة

أكثر خطأ يقع فيه الطلاب هو الخلط بين القطر ونصف القطر؛ فإذا أعطاك السؤال القطر كاملاً، يجب أن تقسمه على 2 قبل التربيعه. الخطأ الآخر هو نسيان تربيع نصف القطر (نق^{2}) قبل الضرب في الارتفاع.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أسطوانة نصف قطر قاعدتها 3 سم وارتفاعها 1.8 سم، ما حجمها؟ الإجابة: ح ≈ 50.9 سم^{3}. السؤال الثاني: أسطوانة ارتفاعها 50 سم وقطر قاعدتها 40 سم، ما حجمها؟ (تنبيه: اقسم القطر على 2 أولاً). الإجابة: ح ≈ 62831.9 سم^{3}.