السرعة المتجهة النسبية

أنت عندما تجري، سرعة الرياح تؤثر عليك. لو كنت تجري بنفس اتجاه الرياح، سرعتك تزيد. ولو كنت تجري عكس اتجاه الرياح، سرعتك تقل. هذا بالضبط ما نسميه السرعة النسبية.

الفكرة الأساسية هنا أن الحركة ليست شيئًا مطلقًا، بل دائمًا تُقاس نسبة لمرجع معين. فسرعتك وأنت تجري غير سرعتك وأنت تجري وتأخذ في الاعتبار سرعة الرياح.

أهم قانون لدينا هو جمع المتجهات. تخيّل أن طائرة تتحرك بسرعة $V_{T/A}$، هذه سرعة الطائرة بالنسبة للهواء. والهواء نفسه يتحرك بسرعة $V_{A/E}$، هذه سرعة الهواء بالنسبة للأرض. إذا أردنا أن نعرف سرعة الطائرة $V_{T/E}$، وهي سرعة الطائرة بالنسبة للأرض، فإننا نجمع السرعتين: $V_{T/E} = V_{T/A} + V_{A/E}$.

مثال: إذا كانت سرعة الطائرة 200 كيلومتر في الساعة شمالاً بالنسبة للهواء، وسرعة الرياح 50 كيلومتر في الساعة شمالاً بالنسبة للأرض، فسرعة الطائرة بالنسبة للأرض ستكون 250 كيلومتر في الساعة شمالاً (200 + 50). لو كانت الرياح 50 كيلومتر في الساعة جنوبًا، ستكون سرعتها بالنسبة للأرض 150 كيلومتر في الساعة شمالاً (200 - 50). الأمر ببساطة هو جمع المتجهات، مع الانتباه للاتجاهات.

الفكرة الأساسية

لو تحركت سيارة بسرعة ١٠٠ كيلومتر في الساعة، وأنت تجلس بداخلها، فسرعتك بالنسبة للسيارة نفسها صفر، لأنك ثابت بالنسبة لها. لكن بالنسبة للأرض، سرعتك هي ١٠٠ كيلومتر في الساعة. هذا ما نسميه السرعة النسبية. هي سرعة جسم بالنسبة لجسم آخر.

أو تخيل أنك تسير على متن قارب بسرعة ٥ أمتار في الثانية في الماء. لو كان الماء ساكناً، فسرعتك بالنسبة للأرض هي ٥ أمتار في الثانية. لكن ماذا لو كان هناك تيار مائي يدفع القارب بسرعة مترين في الثانية في نفس الاتجاه الذي يسير فيه القارب؟ هنا، سرعتك بالنسبة للأرض ستكون مجموع السرعتين: ٥ + ٢ = ٧ أمتار في الثانية. ولو كان التيار في الاتجاه المعاكس؟ ستكون سرعتك بالنسبة للأرض هي ٥ - ٢ = ٣ أمتار في الثانية.

هذا المفهوم مهم جداً في حياتنا اليومية، خصوصًا مع حركة الطائرات، أو السفن، أو حتى عندما تتحرك أنت وتتحرك الكرة التي رميتها.

المفاهيم والقوانين

السرعة النسبية (Relative Velocity) هي سرعة جسم بالنسبة لجسم آخر. نستخدم لها قانونًا يربط سرعات الأجسام ببعضها.

لو كان لدينا ثلاثة أجسام: A و B و C، وكنت تعرف سرعة A بالنسبة لـ B، وسرعة B بالنسبة لـ C، فبإمكانك أن تجد سرعة A بالنسبة لـ C.

القانون يقول: $V_{A/C} = V_{A/B} + V_{B/C}$

دعنا نفكك هذا القانون. $V_{A/C}$ تعني: سرعة الجسم A بالنسبة للجسم C. $V_{A/B}$ تعني: سرعة الجسم A بالنسبة للجسم B. $V_{B/C}$ تعني: سرعة الجسم B بالنسبة للجسم C.

انظر كيف يتكرر الرمز B هنا وهناك (واحد في نهاية الأول، والثاني في بداية الثاني) ثم يختفي في النهاية ليعطينا A بالنسبة لـ C.

هذا القانون يعمل مع الكميات المتجهة، يعني يجب أن نأخذ في الاعتبار الاتجاهات. إذا كانت السرعات في نفس الاتجاه، نجمعها. وإذا كانت في اتجاهات متعاكسة، نطرحها (أو نجمع متجهين أحدهما سالب).

لو تخيلت قاربًا (A) يتحرك في نهر (B)، والنهر (B) يتحرك بالنسبة للأرض (C). سرعة القارب بالنسبة للنهر هي $V_{A/B}$. سرعة النهر بالنسبة للأرض هي $V_{B/C}$. فلو أردت معرفة سرعة القارب بالنسبة للأرض، تجمع السرعتين: $V_{A/C} = V_{A/B} + V_{B/C}$.

ولدينا أيضًا حالة خاصة: $V_{A/B} = - V_{B/A}$ هذا يعني أن سرعة A بالنسبة لـ B هي عكس سرعة B بالنسبة لـ A. يعني لو كنت في سيارة تسير ١٠٠ كيلومتر في الساعة بالنسبة للأرض، فإن الأرض تتحرك بسرعة ١٠٠ كيلومتر في الساعة في الاتجاه المعاكس بالنسبة لك.

مثال محلول خطوة بخطوة

لدينا مثال: طائرة ورقية (kite) تحلق في الهواء، وتهب رياح.

• سرعة الرياح بالنسبة للأرض: 4.0 أمتار في الثانية (m/s) باتجاه الشرق. (هذه هي $V_{w/g}$ حيث 'w' للرياح و 'g' للأرض)
• سرعة الطائرة الورقية بالنسبة للرياح: 0.75 متر في الثانية (m/s) باتجاه الشمال. (هذه هي $V_{m/w}$ حيث 'm' للطائرة الورقية و 'w' للرياح)

والمطلوب: السرعة المتجهة للطائرة الورقية بالنسبة للأرض. (هذه هي $V_{m/g}$)

الخطوة 1: تحليل المسألة ورسمها

• نجمع كل المعطيات:
  • $V_{w/g} = 4.0 \text{ m/s}$ (شرقًا)
  • $V_{m/w} = 0.75 \text{ m/s}$ (شمالًا)
• نرسم متجهين لكل سرعة:
  • متجه للرياح (w) بالنسبة للأرض (g) يشير شرقًا بطول يتناسب مع 4.0.
  • متجه للطائرة الورقية (m) بالنسبة للرياح (w) يشير شمالًا بطول يتناسب مع 0.75.

تخيل رسمة لهذه المتجهات: متجه على محور X الموجب (شرقًا) بقيمة 4.0، ومتجه على محور Y الموجب (شمالًا) بقيمة 0.75.

الخطوة 2: إيجاد الكمية المجهولة

نحن نريد $V_{m/g}$. نطبق قانون السرعة النسبية: $V_{m/g} = V_{m/w} + V_{w/g}$

لأن المتجهين متعامدان (واحد شرقًا والآخر شمالًا)، فإننا نستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد المحصلة.

طول المتجه المحصل (سرعة الطائرة الورقية بالنسبة للأرض): $V_{m/g} = \sqrt{(V_{m/w})^2 + (V_{w/g})^2}$ $V_{m/g} = \sqrt{(0.75 \text{ m/s})^2 + (4.0 \text{ m/s})^2}$ $V_{m/g} = \sqrt{0.5625 + 16}$ $V_{m/g} = \sqrt{16.5625}$ $V_{m/g} \approx 4.1 \text{ m/s}$

الآن، نحتاج تحديد الاتجاه. الاتجاه هو زاوية المتجه المحصل بالنسبة للمحور الأفقي (الشرق). نستخدم دالة الظل (tan): $\tan \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{V_{m/w}}{V_{w/g}}$ $\tan \theta = \frac{0.75 \text{ m/s}}{4.0 \text{ m/s}}$ $\tan \theta = 0.1875$ $\theta = \tan^{-1}(0.1875)$ $\theta \approx 11^\circ$

إذًا، السرعة المتجهة للطائرة الورقية بالنسبة للأرض هي 4.1 أمتار في الثانية، بزاوية 11 درجة شمال الشرق.

الخطوة 3: تقويم الجواب

• هل الوحدات صحيحة؟ نعم، جمعنا سرعات ووجدنا سرعة (m/s).
• هل للإشارات معنى؟ نعم، الاتجاهات مهمة.
• هل الجواب منطقي؟ نعم، السرعة النسبية أقرب إلى سرعة الرياح لأن سرعتها هي الأكبر.

الأخطاء الشائعة

• عدم الانتباه للاتجاهات: السرعة كمية متجهة، وهذا يعني أن الاتجاه مهم جدًا. لو جمعت السرعات كقيم عددية (قياسية) دون مراعاة الاتجاهات، ستكون النتيجة خاطئة. تذكر دائمًا أن ترسم المتجهات لتساعدك على تخيل الوضع وتطبيق قواعد جمع المتجهات الصحيحة (سواء كانت في نفس الاتجاه، متعاكسة، أو متعامدة).
• الخلط بين رموز القانون: أحيانًا يتم الخلط بين $V_{A/B}$ و $V_{B/A}$. تذكر دائمًا أن $V_{A/B} = - V_{B/A}$. يعني لو سرعة السيارة بالنسبة للشجرة ٦٠ كيلومترًا في الساعة شرقًا، فسرعة الشجرة بالنسبة للسيارة ٦٠ كيلومترًا في الساعة غربًا.
• استخدام قانون فيثاغورس بشكل خاطئ: قانون فيثاغورس يستخدم فقط عندما تكون المتجهات متعامدة (تصنع زاوية ٩٠ درجة). لو كانت الزاوية مختلفة، يجب استخدام قانون جيب التمام أو جيب الزاوية (قانون الكوساين أو الساين).

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: قارب يبحر بسرعة 5.0 أمتار في الثانية باتجاه الشرق بالنسبة للماء. يتدفق النهر بسرعة 2.0 متر في الثانية باتجاه الشرق بالنسبة للأرض. ما سرعة القارب بالنسبة للأرض؟

الإجابة: هنا، سرعة القارب بالنسبة للماء (دعنا نسميها $V_{P/W}$) هي 5.0 أمتار في الثانية شرقًا. وسرعة الماء بالنسبة للأرض (دعنا نسميها $V_{W/G}$) هي 2.0 متر في الثانية شرقًا. نحن نريد سرعة القارب بالنسبة للأرض ($V_{P/G}$). القانون هو: $V_{P/G} = V_{P/W} + V_{W/G}$. بما أن الاتجاهين متماثلان (كلاهما شرقًا)، نجمع القيم العددية: $V_{P/G} = 5.0 \text{ m/s} + 2.0 \text{ m/s} = 7.0 \text{ m/s}$. إذًا، سرعة القارب بالنسبة للأرض هي 7.0 أمتار في الثانية باتجاه الشرق.

السؤال الثاني: طائرة تطير بسرعة 150 كيلومترًا في الساعة باتجاه الشمال بالنسبة للهواء. وتهب رياح من الشرق باتجاه الغرب بسرعة 50 كيلومترًا في الساعة بالنسبة للأرض. ما سرعة الطائرة بالنسبة للأرض؟

الإجابة: هنا، سرعة الطائرة بالنسبة للهواء (دعنا نسميها $V_{A/W}$) هي 150 كيلومترًا في الساعة شمالًا. وسرعة الهواء بالنسبة للأرض (دعنا نسميها $V_{W/G}$) هي 50 كيلومترًا في الساعة غربًا. نحن نريد سرعة الطائرة بالنسبة للأرض ($V_{A/G}$). القانون هو: $V_{A/G} = V_{A/W} + V_{W/G}$. هنا المتجهان متعامدان (شمال وغرب). نستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار السرعة: $|V_{A/G}| = \sqrt{(V_{A/W})^2 + (V_{W/G})^2}$ $|V_{A/G}| = \sqrt{(150 \text{ km/h})^2 + (50 \text{ km/h})^2}$ $|V_{A/G}| = \sqrt{22500 + 2500}$ $|V_{A/G}| = \sqrt{25000} \approx 158.1 \text{ km/h}$.

ولإيجاد الاتجاه، نستخدم دالة الظل: $\tan \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{V_{W/G}}{V_{A/W}}$ (إذا أخذنا الزاوية من المحور الشمالي باتجاه الغرب) $\tan \theta = \frac{50 \text{ km/h}}{150 \text{ km/h}} = \frac{1}{3} \approx 0.333$ $\theta = \tan^{-1}(0.333) \approx 18.4^\circ$. إذًا، سرعة الطائرة بالنسبة للأرض هي حوالي 158.1 كيلومترًا في الساعة، بزاوية 18.4 درجة غرب الشمال.