حركة المقذوف

الدرس هذا يتكلم عن "المقذوفات" — أي جسم نرميه في الهواء مثل كرة قدم أو حجر، ونسجل حركته. لماذا نحتاج ندرس هذا؟ لأننا بهذه الدراسة نقدر نتنبأ بالضبط وين بيروح الجسم، وكم المسافة اللي يقطعها، وإلى أي ارتفاع يوصل.

الفكرة الأساسية هنا أنك تقدر تفصل حركة الجسم المقذوف إلى حركتين مستقلتين:

1. حركة أفقية على محور X، وهذه حركتها بسرعة ثابتة، وكأن الجسم يتحرك على أرض مستوية بدون أي قوى تدفعه أو توقفه (لأننا بنهمل مقاومة الهواء).
2. حركة رأسية على محور Y، وهذه حركتها تتأثر بقوة الجاذبية الأرضية، يعني كأن الجسم يقذف لأعلى ثم يهبط للأسفل بتسارع ثابت يساوي تسارع الجاذبية.

القانون الأهم هنا هو أن الحركة الأفقية لا تؤثر في الحركة الرأسية، والعكس صحيح. يعني لو رميت كرة بسرعة أفقية معينة، وبنفس اللحظة أسقطت كرة أخرى من نفس الارتفاع، الثنتين بيوصلون للأرض في نفس الزمن.

مثلاً، لو قذفت كرة بسرعة أفقية 10 أمتار لكل ثانية، ورأسياً بسرعة 5 أمتار لكل ثانية. بعد ثانية واحدة، ستكون الكرة قد قطعت 10 أمتار أفقياً (10 م/ث × 1 ث)، بينما حركتها الرأسية تتأثر بالجاذبية. وهذا الفصل يخلي حساباتنا أسهل بكثير.

اسمح لي أن أشرح لك درس المقذوفات في بُعدين.

الفكرة الأساسية

لو رميت كرة إلى أعلى، فهي ترتفع ثم تهبط مرة أخرى. ولو ضربت كرة مضربًا، فهي تتحرك في الهواء بمسار منحني حتى تسقط على الأرض. هذه الكرات وغيرها من الأجسام التي تقذف أو تُطلق في الهواء، تسمى "المقذوفات". حركتها هذه هي ما نريد أن نفهمها.

في الواقع، حركتها معقدة بعض الشيء، لأنها تتحرك في اتجاهين معًا: ترتفع وتهبط، وفي نفس الوقت تتقدم للأمام. لكن العلماء اكتشفوا طريقة بسيطة جدًا لفهمها: يمكننا أن نفكر في الحركة الأفقية (التقدم للأمام) بشكل منفصل عن الحركة الرأسية (الارتفاع والهبوط). كل اتجاه له قوانينه الخاصة، وبعد أن نحسب الحركة في كل اتجاه على حدة، نجمع النتائج لكي نعرف أين سيكون الجسم بالضبط في أي وقت.

الفكرة هي أن القوة الوحيدة التي تؤثر على المقذوف في الهواء، بعد قذفه، هي الجاذبية الأرضية، وهذه القوة دائمًا تسحب الجسم للأسفل. لا توجد قوة تدفعه للأمام أو تسحبه للخلف (لو أهملنا مقاومة الهواء). لهذا، المقذوف يتحرك أفقيًا بسرعة ثابتة، بينما يتحرك رأسيًا تحت تأثير الجاذبية، مما يعني أن سرعته الرأسية تتغير باستمرار.

انظر إلى الشكل: الكرة تبعد مسافات متساوية في أزمنة متساوية أفقيًا. هذا يعني أن سرعتها الأفقية ثابتة. بينما تلاحظ أنها ترتفع ثم تهبط، مما يدل على تغير سرعتها الرأسية.

المفاهيم والقوانين

دعنا نقسم المقذوف إلى حركتين منفصلتين: حركة أفقية وحركة رأسية.

الحركة الأفقية:

• هذه الحركة تكون على طول المحور السيني (X-axis).
• لا توجد قوة تؤثر على المقذوف في هذا الاتجاه (إذا أهملنا مقاومة الهواء).
• هذا يعني أن التسارع الأفقي (aₓ) يساوي صفرًا.
• وبما أن التسارع صفر، فالسرعة الأفقية (vₓ) تكون ثابتة.
• القانون الذي نستخدمه هنا هو: المسافة الأفقية المقطوعة (x) تساوي السرعة الأفقية (vₓ) مضروبة في الزمن (t).
  • x = vₓ * t

الحركة الرأسية:

• هذه الحركة تكون على طول المحور الصادي (Y-axis).
• القوة الوحيدة التي تؤثر على المقذوف في هذا الاتجاه هي الجاذبية الأرضية.
• هذا يعني أن التسارع الرأسي (aᵧ) يساوي تسارع الجاذبية الأرضية (g). وقيمته تقريبًا 9.8 م/ث². نضع له إشارة سالبة لأنه يتجه دائمًا للأسفل.
  • aᵧ = -g
• وبما أن هناك تسارعًا، فالسرعة الرأسية (vᵧ) تتغير باستمرار.
• القوانين التي نستخدمها هنا هي قوانين الحركة بتسارع ثابت:
  • السرعة النهائية الرأسية (vᵧ) تساوي السرعة الابتدائية الرأسية (vᵧᵢ) مضافًا إليها التسارع الرأسي (aᵧ) مضروبًا في الزمن (t).
    • vᵧ = vᵧᵢ + aᵧ * t
  • الإزاحة الرأسية (Δy) تساوي السرعة الابتدائية الرأسية (vᵧᵢ) مضروبة في الزمن (t)، مضافًا إليها نصف التسارع الرأسي (aᵧ) مضروبًا في مربع الزمن (t²).
    • Δy = vᵧᵢ * t + (1/2) * aᵧ * t²
  • مربع السرعة النهائية الرأسية (vᵧ²) يساوي مربع السرعة الابتدائية الرأسية (vᵧᵢ²)، مضافًا إليه ضعف التسارع الرأسي (aᵧ) مضروبًا في الإزاحة الرأسية (Δy).
    • vᵧ² = vᵧᵢ² + 2 * aᵧ * Δy

كيف نربط بين الحركتين؟ الزمن (t) هو العامل المشترك بين الحركتين الأفقية والرأسية. يعني أن الزمن الذي يستغرقه المقذوف للوصول إلى أقصى ارتفاع، هو نفسه الزمن الذي يتحرك فيه أفقيًا خلال تلك الفترة.

متى يكون إطلاق المقذوف بزاوية؟ عندما يُطلق المقذوف بزاوية، فهذا يعني أن سرعته الابتدائية (vᵢ) لها مركبتان: مركبة أفقية (vₓᵢ) ومركبة رأسية (vᵧᵢ).

• المركبة الأفقية للسرعة الابتدائية: vₓᵢ = vᵢ * cos(θ)
• المركبة الرأسية للسرعة الابتدائية: vᵧᵢ = vᵢ * sin(θ) حيث (θ) هي زاوية الإطلاق مع الأفق.

ملاحظات مهمة:

• عند أعلى نقطة يصل إليها المقذوف، تكون سرعته الرأسية (vᵧ) تساوي صفرًا.
• زمن الصعود (للأعلى) يساوي زمن الهبوط (للأسفل) إذا عاد المقذوف إلى نفس الارتفاع الذي أُطلق منه.
• المدى الأفقي (R) هو أقصى مسافة أفقية يقطعها المقذوف.

مثال محلول خطوة بخطوة

لنفترض أن كرة قُذفت بسرعة 4.5 متر/ثانية، وبزاوية 66 درجة مع الأفق. نريد أن نعرف أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة، وكم من الزمن تستغرقه لتعود إلى المستوى نفسه الذي قُذفت منه.

1. تحليل المعطيات والمطلوب:

• السرعة الابتدائية (vᵢ) = 4.5 م/ث.
• زاوية الإطلاق (θᵢ) = 66 درجة.
• المطلوب هو أقصى ارتفاع ($y_{max}$) والزمن الكلي للرحلة (t).

2. إيجاد المركبات الأولية للسرعة:

• المركبة الأفقية للسرعة الابتدائية (vₓᵢ) = vᵢ * cos(θᵢ) = 4.5 * cos(66°) = 1.8 م/ث.
• المركبة الرأسية للسرعة الابتدائية (vᵧᵢ) = vᵢ * sin(θᵢ) = 4.5 * sin(66°) = 4.1 م/ث.

3. حساب الزمن للوصول إلى أقصى ارتفاع: عند أقصى ارتفاع، تكون السرعة الرأسية النهائية (vᵧ) = 0 م/ث. نستخدم القانون: vᵧ = vᵧᵢ + aᵧ * t نعوض: 0 = 4.1 + (-9.8) * t منها، t = 4.1 / 9.8 = 0.42 ثانية. هذا هو زمن الصعود.

4. حساب أقصى ارتفاع: نستخدم القانون: Δy = vᵧᵢ * t + (1/2) * aᵧ * t² نعوض بالزمن الذي حسبناه (0.42 ثانية): Δy = (4.1) * (0.42) + (1/2) * (-9.8) * (0.42)² Δy = 1.722 - 0.864 = 0.86 متر. هذا هو أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة.

5. حساب الزمن اللازم للعودة إلى نقطة الإطلاق: إذا كان زمن الصعود هو 0.42 ثانية، فإن الزمن الكلي للعودة إلى نفس مستوى الإطلاق هو ضعف زمن الصعود: الزمن الكلي (t) = 2 * زمن الصعود = 2 * 0.42 = 0.84 ثانية.

تقويم الإجابات:

• الوحدات صحيحة؟ نعم، السرعة بالمتر/ثانية، الزمن بالثواني، والمسافة بالمتر. الوحدات متوافقة.
• هل للإشارات معنى؟ نعم، التسارع الجاذبي سالب لأنه للأسفل. وهذا منطقي.
• هل الجواب منطقي؟ لو قذفت كرة بسرعة 4.5 م/ث بزاوية 66 درجة، أقصى ارتفاع 0.86 متر والزمن الكلي 0.84 ثانية يبدو منطقيًا لسرعة ابتدائية صغيرة.

الأخطاء الشائعة

• خلط المركبات: كثيرًا ما يخلط الطلاب بين المركبة الأفقية والمركبة الرأسية للسرعة أو التسارع. تذكر أن الحركة الأفقية لا تتأثر بالجاذبية (aₓ = 0)، بينما الحركة الرأسية هي التي تتأثر بها (aᵧ = -g).
• نسيان إشارة الجاذبية: يجب دائمًا استخدام إشارة سالبة لتسارع الجاذبية (aᵧ = -9.8 م/ث²) لأنه يتجه للأسفل، وهو عكس الاتجاه الموجب الذي نحدده للارتفاع (عادة للأعلى).
• استخدام قوانين خاطئة: استخدام قوانين الحركة بتسارع ثابت للحركة الأفقية، أو قوانين الحركة بسرعة ثابتة للحركة الرأسية.
• عدم تحليل السرعة الابتدائية: لو كان الإطلاق بزاوية، يجب عليك دائمًا تحليل السرعة الابتدائية إلى مركبتين أفقية ورأسية قبل البدء بالحسابات.
• عدم فهم الزمن: الزمن هو العامل الوحيد المشترك بين الحركتين الأفقية والرأسية. أي زمن تحسبه لإحدى الحركتين، يمكنك استخدامه للأخرى.
• افتراض أن السرعة الرأسية صفر دائمًا عند أقصى ارتفاع: هذا صحيح، لكن الطلاب ينسون أن هذا يعني أن السرعة الكلية ليست صفرًا، لأن المركبة الأفقية للسرعة لا تزال موجودة.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: قُذف لاعب كرة سلة الكرة بسرعة ابتدائية مقدارها 27.0 م/ث بزاوية 30.0 درجة مع الأفق من سطح الأرض. أهمل مقاومة الهواء. المطلوب: أ. زمن تحليق الكرة (الزمن الكلي الذي تبقى فيه الكرة في الهواء حتى تسقط على الأرض). ب. أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة. ج. المدى الأفقي للكرة.

الإجابة على السؤال الأول: أ. زمن تحليق الكرة:

1. تحليل السرعة الابتدائية:
   • vᵧᵢ = vᵢ * sin(θ) = 27.0 * sin(30.0°) = 13.5 م/ث.
2. حساب زمن الصعود: عند أقصى ارتفاع، vᵧ = 0.
   • vᵧ = vᵧᵢ + aᵧ * t_صعود
   • 0 = 13.5 + (-9.8) * t_صعود
   • t_صعود = 13.5 / 9.8 = 1.38 ثانية.
3. حساب زمن التحليق الكلي: بما أن الكرة تعود لنفس المستوى.
   • t_تحليق = 2 * t_صعود = 2 * 1.38 = 2.76 ثانية.

ب. أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة:

1. استخدام قانون الإزاحة الرأسية:
   • Δy = vᵧᵢ * t_صعود + (1/2) * aᵧ * (t_صعود)²
   • Δy = (13.5) * (1.38) + (1/2) * (-9.8) * (1.38)²
   • Δy = 18.63 - 9.33 = 9.30 متر.
   • أو يمكن استخدام: vᵧ² = vᵧᵢ² + 2 * aᵧ * Δy
   • 0² = (13.5)² + 2 * (-9.8) * Δy
   • 0 = 182.25 - 19.6 * Δy
   • Δy = 182.25 / 19.6 = 9.30 متر.

ج. المدى الأفقي للكرة:

1. حساب المركبة الأفقية للسرعة الابتدائية:
   • vₓᵢ = vᵢ * cos(θ) = 27.0 * cos(30.0°) = 23.4 م/ث.
2. حساب المدى الأفقي (باستخدام زمن التحليق الكلي):
   • x = vₓᵢ * t_تحليق
   • x = 23.4 * 2.76 = 64.6 متر.

---

السؤال الثاني: قُذفت كرة من أعلى بناية ارتفاعها 50.0 مترًا بسرعة ابتدائية 7.0 م/ث في اتجاه يصنع زاوية 53.0 درجة مع الأفق. المطلوب: أوجد مقدار واتجاه سرعة الكرة لحظة اصطدامها بالأرض.

الإجابة على السؤال الثاني:

1. تحليل السرعة الابتدائية:
   • vₓᵢ = vᵢ * cos(θ) = 7.0 * cos(53.0°) = 4.21 م/ث. (هذه هي السرعة الأفقية طوال الوقت)
   • vᵧᵢ = vᵢ * sin(θ) = 7.0 * sin(53.0°) = 5.59 م/ث.
2. حساب الزمن الكلي للتحليق حتى تصطدم بالأرض:
   • نحن نعرف الإزاحة الرأسية الكلية (Δy) = -50.0 متر (لأن الكرة تهبط من ارتفاع 50 مترًا إلى الصفر).
   • نستخدم القانون: Δy = vᵧᵢ * t + (1/2) * aᵧ * t²
   • -50.0 = (5.59) * t + (1/2) * (-9.8) * t²
   • -50.0 = 5.59t - 4.9t²
   • نعيد ترتيب المعادلة لتصبح معادلة تربيعية: 4.9t² - 5.59t - 50.0 = 0
   • باستخدام القانون العام لحل المعادلات التربيعية (t = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a):
     • a = 4.9, b = -5.59, c = -50.0
     • t = [5.59 ± √((-5.59)² - 4 * 4.9 * -50.0)] / (2 * 4.9)
     • t = [5.59 ± √(31.25 + 980)] / 9.8
     • t = [5.59 ± √(1011.25)] / 9.8
     • t = [5.59 ± 31.80] / 9.8
     • نأخذ القيمة الموجبة للزمن: t = (5.59 + 31.80) / 9.8 = 37.39 / 9.8 = 3.82 ثانية.
3. حساب السرعة الرأسية النهائية (vᵧ) لحظة الاصطدام بالأرض:
   • vᵧ = vᵧᵢ + aᵧ * t
   • vᵧ = 5.59 + (-9.8) * 3.82
   • vᵧ = 5.59 - 37.44 = -31.85 م/ث. (الإشارة السالبة تعني أنها تتجه للأسفل).
4. حساب مقدار السرعة الكلية (v) لحظة الاصطدام:
   • السرعة الأفقية (vₓ) = vₓᵢ = 4.21 م/ث.
   • مقدار السرعة الكلية = √(vₓ² + vᵧ²)
   • v = √((4.21)² + (-31.85)²) = √(17.72 + 1014.42) = √(1032.14) = 32.13 م/ث.
5. حساب اتجاه السرعة (الزاوية θ مع الأفق) لحظة الاصطدام:
   • tan(θ) = |vᵧ / vₓ|
   • tan(θ) = |-31.85 / 4.21| = 7.565
   • `θ = arctan(7