توسع 4-4 معمل الحاسبة البيانية: أنظمة المعادلات والمتباينات غير الخطية

يقوم هذا الدرس على استخدام الحاسبة البيانية TI-nspire لتقريب حلول أنظمة المعادلات والمتباينات غير الخطية بيانيا. الفكرة الأساسية تعتمد على تمثيل كل معادلة أو متباينة في النظام داخل الحاسبة، ثم إيجاد نقاط التقاطع للمعادلات، أو منطقة التظليل المشترك للمتباينات. فعندما تريد حل نظام مثل $x^2 + y^2 = 13$ و $xy + 6 = 0$ بيانيا، فإنك تدخل كل معادلة كعلاقة أو تحويلها لدلالة $y$، ثم تستعمل ميزة تقاطع الرسوم البيانية لتحديد الأزواج المرتبة التي تمثل حلول النظام بكل دقة، وهي هنا أربع نقاط تقاطع.

الفكرة الأساسية

تعتمد الفكرة الأساسية في هذا الدرس على الاستعانة بالحاسبة البيانية TI-nspire لتمثيل أنظمة المعادلات والمتباينات غير الخطية وتقريب حلولها بيانياً، وذلك بإدخال كل معادلة أو متباينة في النظام على الشاشة واستخراج نقاط التقاطع أو مناطق التظليل المشتركة التي تمثل مجموعة الحل.

الشرح

عندما تتعامل مع نظام يتكون من معادلات غير خطية، فإن التمثيل اليدوي قد يكون صعباً أو يستغرق وقتاً طويلاً. هنا يأتي دور الحاسبة البيانية TI-nspire لتسهيل المهمة. لحل نظام معادلات غير خطية، تقوم بتشغيل الحاسبة واختيار تطبيق الرسم البياني، ثم إدخال كل معادلة على حدة، سواء كانت بصيغة علاقة أو بعد ترتيبها. بعد ظهور التمثيل البياني لكل معادلة، تنتقل إلى الخطوة التالية وهي إيجاد نقاط التقاطع عبر قائمة تحليل الرسم البياني واختيار نقاط التقاطع، لتظهر لك الإحداثيات الدقيقة لجميع نقاط التقاطع التي تمثل حلول النظام. أما في حالة أنظمة المتباينات غير الخطية، فيجب عليك أولاً كتابة كل متباينة بدلالة $y$، ثم إدخالها في الحاسبة مع اختيار رمز التباين المناسب مثل الأكبر من أو الأصغر من، لتظهر مناطق التظليل المختلفة. وتكون منطقة الحل المشترك هي التقاطع بين أنماط التظليل جميعها التي تحقق المتباينات في النظام.

مثال محلول خطوة بخطوة

لنأخذ نظام المعادلات الآتي ونقوم بحله بيانياً: $x^2 + y^2 = 13$ $xy + 6 = 0$ الخطوة الأولى: مثل المعادلتين بيلياً. اضغط على مفتاح التشغيل ثم اختر إدخال وتحرير الرسم البياني. اختر معادلة ثم القطوع المخروطية لتدخل المعادلة الأولى، ثم اضغط على زر الإدخال ليظهر تمثيلها البياني. بعد ذلك اضغط على مفتاح الانتقال واكتب المعادلة الثانية ثم اضغط على زر الإدخال ليظهر تمثيلها البياني الثاني. الخطوة الثانية: إيجاد نقاط التقاطع. استعمل ميزة نقاط التقاطع لإيجاد الحلول بالضغط على القائمة ثم تحليل الرسم البياني ثم نقاط التقاطع. اضغط في أي نقطة على الشاشة وحرك المؤشر مروراً بكل نقطة من نقاط التقاطع لتظهر الأزواج المرتبة الممثلة لنقاط التقاطع الأربع، وهي (-3, 2) و (-2, 3) و (2, -3) و (3, -2)، وهي حلول النظام.

أخطاء شائعة

1. إدخال المتباينات في الحاسبة دون كتابتها أولاً بدلالة $y$، مما يؤدي إلى ظهور رسالة خطأ أو عدم القدرة على اختيار رمز التباين الصحيح.
2. الخلط بين مناطق التظليل في أنظمة المتباينات وعدم تحديد منطقة التقاطع المشتركة بدقة التي تحقق جميع متباينات النظام.
3. نسيان بعض نقاط التقاطع في أنظمة المعادلات غير الخطية والاكتفاء بنقطة واحدة رغم وجود عدة نقاط تقاطع للقطوع معاً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: حل نظام المتباينات الآتي بيانيا: $x^2 + y^2 \leq 36$ $y - x^2 > 0$ الإجابة: اكتب المتباينة الأولى بدلالة $y$ فتصبح $y > x^2$ و $y \leq \sqrt{36 - x^2}$ و $y \ge -\sqrt{36 - x^2}$، ثم مثلها باستخدام الحاسبة البيانية لتكون منطقة الحل هي منطقة التظليل الناتجة من تقاطع أنماط التظليل التي تحقق المتباينات جميعها. السؤال الثاني: حل نظام المعادلات الآتي بيانيا مقربا إلى أقرب جزء من عشرة: $xy = 2$ $x^2 - y^2 = 3$ الإجابة: قم بتمثيل المعادلتين بيانيا باستخدام الحاسبة البيانية TI-nspire، ثم استخدم ميزة نقاط التقاطع لإيجاد نقاط تقاطع المنحنيين معا وتقريب إحداثياتها إلى أقرب جزء من عشرة بدقة.