الدوال

تقوم فكرة الدرس على دراسة الدوال وكيفية ربط كل عنصر من مجموعة المجال بعنصر واحد فقط من مجموعة المدى. تبدأ المهارات بتحديد مجموعات الأعداد الحقيقية الفرعية وكتابتها باستعمال الصفة المميزة ورمز الفترة. ثم نتعلم كيف نعرف العلاقة وهل تمثل دالة باستخدام اختبار الخط الراسي أو التحليل الجبري. بعد ذلك، نوجد قيم الدالة بالتعويض بقيمة المتغير المستقل $x$ داخل قاعدة الدالة، ونحدد مجال الدالة جبريا باستثناء القيم التي تجعل المقام صفرا أو ما تحت الجذر سالبا في الجذور الزوجية. أخيرا، نتعامل مع الدوال متعددة التعريف التي تتغير قاعدتها بحسب الفترة المعطاة. مثال سريع: إذا كانت الدالة $f(x) = x^2 - 5$، فإن قيمة الدالة عندما $x = 3$ تحسب بالتعويض المباشر هكذا: $f(3) = (3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4$.

الفكرة الأساسية

تقوم فكرة الدرس على بناء مفهوم العلاقة والدالة، وكيف ترتبط المدخلات بالمخرجات. نتعلم وصف المجموعات الجزئية للأعداد الحقيقية بطرق رياضية دقيقة، وتحديد ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة أم لا بيانيا وجبريا، وكيفية حساب قيم الدوال وتحديد مجالاتها، وصولا إلى الدوال المعرفة بأكثر من قاعدة.

الشرح

الدالة هي علاقة تربط كل عنصر $x$ من مجموعة تسمى المجال بعنصر واحد فقط $y$ من مجموعة تسمى المدى، ونرمز لها بالرمز $f(x)$. لوصف المجموعات، نستعمل صفة الميزة مثل $\{x \mid x \ge 8, x \in W\}$ أو رموز الفترة مثل $[a, b]$ للفترات المحدودة و$(-\infty, a)$ للفترات غير المحدودة. لحل مسائل تحديد الدوال، نستخدم اختبار الخط الراسي بيانيا؛ بحيث إذا قطع أي خط رأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة، فلا تمثل العلاقة دالة. أما جبريا، فنحل المعادلة بالنسبة إلى $y$ لنتأكد من عدم وجود قيمتين لـ $y$ مقابل قيمة واحدة لـ $x$. لإيجاد قيمة الدالة مثل $f(6)$ في قاعدة مثل $f(x) = x^2 + 8x - 24$، نعوض بكل $6$ مكان كل $x$ ونبسط العبارة. ولتحديد مجال الدالة جبريا، نستثني القيم التي تجعل المقام صفرا، والقيم التي تجعل ما تحت الجذر الزوجي سالبا.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد مجال الدالة $f(x) = \frac{2+x}{x^2 - 7x}$. الخطوة الأولى: تكون العبارة غير معرفة إذا كان المقام مساويا للصفر. الخطوة الثانية: نجد قيم $x$ التي تجعل المقام صفرا بحل المعادلة $x^2 - 7x = 0$. الخطوة الثالثة: نحلل العبارة باخراج العامل المشترك $x(x - 7) = 0$. الخطوة الرابعة: إما $x = 0$ أو $x = 7$. الخطوة الخامسة: إذن مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا $0$ و $7$، ويكتب بصيغة الصفة المميزة $\{x \mid x \neq 0, x \neq 7, x \in R\}$.

أخطاء شائعة

الاعتقاد بأن أي علاقة بين متغيرين تمثل تلقائيا دالة دون التحقق من ارتباط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى. والخطأ عند تحديد مجال الدوال الكسرية بنسيان استثناء القيم التي تجعل المقام صفرا، أو نسيان استثناء القيم التي تجعل ما تحت الجذر زوجي الدليل سالبا.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: أوجد قيمة الدالة $f(6)$ إذا كانت $f(x) = x^2 + 8x - 24$. الإجابة: بالتعويض عن $x = 6$ نحصل على $f(6) = (6)^2 + 8(6) - 24 = 36 + 48 - 24 = 60$. السؤال الثاني: حدد مجال الدالة $g(t) = \sqrt{t - 5}$. الإجابة: بما أن ما تحت الجذر يجب ألا يكون سالبا، إذن $t - 5 \ge 0$، ومنه $t \ge 5$، فيكون المجال هو $\{t \mid t \ge 5, t \in R\}$ أو الفترة $[5, \infty)$.