توسع 7-4 معمل الحاسبة البيانية: حل المعادلات والمتباينات الجذرية

يقوم هذا الدرس على استعمال الحاسبة البيانية TI-nspire لحل المعادلات والمتباينات الجذرية بيانياً بطريقتين. تعتمد الطريقة الأولى على إعادة كتابة المعادلة ليصبح أحد طرفيها صفراً، ثم استخدام ميزة أصفر الدالة لإيجاد تقاطع التمثيل البياني مع المحور x. أما الطريقة الثانية فتعتمد على تمثيل طرفي المعادلة أو المتباينة بدالتين منفصلتين مثل $f_{1}$(x) و $f_{2}$(x)، ثم استخدام ميزة نقاط التقاطع لإيجاد الحل أو تحديد الفترة التي تتحقق فيها المتباينة. على سبيل المثال، لحل المعادلة $\sqrt{x} + \sqrt{x+2} - 3 = 0$ بيانياً، ندخل الدالة في الحاسبة ونبحث عن نقطة تقاطعها مع المحور x، فيكون الحل التقريبي هو x = 1.36 تقريباً.

الفكرة الأساسية

تعتمد فكرة الدرس على توظيف الحاسبة البيانية TI-nspire لإيجاد حلول المعادلات والمتباينات الجذرية دون الحاجة للحل الجبري المعقد. نبدأ بإعادة كتابة المعادلة أو المتباينة لنجعل أحد طرفيها صفراً، أو نعتبر كل طرف دالة مستقلة، ثم نستخدم خصائص الرسم البياني مثل أصفر الدالة أو نقاط التقاطع.

الشرح

حين تواجه معادلة جذرية مثل $\sqrt{x} + \sqrt{x+2} = 3$، يمكنك نقل العدد 3 إلى الطرف الأيمن لتصبح المعادلة بالصفر هكذا: $\sqrt{x} + \sqrt{x+2} - 3 = 0$. الآن نفتح مستنداً جديداً ونختار تطبيق الرسوم البيانية، ثم نكتب الدالة $f_1(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+2} - 3$ ونضغط enter. لمعرفة الحل، نضغط على زر menu، ثم نختار تحليل الرسم البياني، ثم أصفر الدالة. نقوم بالنقر على أي نقطة على اليسار ثم اليمين لنقطة التقاطع مع المحور x، فتظهر إحداثيات صفر الدالة وهو الحل المطلوب. أما في المتباينات مثل $2\sqrt{x} > \sqrt{x+2} + 1$، فنستطيع تمثيل الطرف الأيسر كدالة مستقلة $f_1(x) = 2\sqrt{x}$ والطرف الأيمن كدالة أخرى $f_2(x) = \sqrt{x+2} + 1$. بعد رسم الدالتين على الشاشة، نضغط على menu ثم تحليل الرسم البياني ثم نقاط التقاطع. بالنقر حول نقطة التقاطع يظهر الزوج المرتب الذي يوضح نقطة التساوي، ومن خلال تتبع الرسم نعرف الفترة التي يكون فيها منحنى الطرف الأيسر أعلى من الطرف الأيمن لنصل إلى حل المتباينة.

مثال محلول خطوة بخطوة

لحل المعادلة $\sqrt{x} + \sqrt{x+2} = 3$ بيانيا: الخطوة الأولى: أعد كتابة المعادلة بطرح العدد 3 من طرفيها ليصبح أحد الطرفين صفراً، فتصبح المعادلة $\sqrt{x} + \sqrt{x+2} - 3 = 0$. الخطوة الثانية: استخدم الجداول لتقدير الحل. اضغط على مفتاح on ثم اختر إضافة تطبيق القوائم وجداول البيانات. سم رأس العمود بالرمز x وادخل قيماً للـ x، ثم سم العمود المجاور بالرمز y واكتب في الخلية أسفله مباشرة $f_1(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+2} - 3$ واضغط enter. ستلاحظ من الجدول أن إشارة الدالة تتغير بين العددين 2 و 1، مما يعني وجود الحل بينهما. الخطوة الثالثة: استخدم ميزة أصفر الدالة لإيجاد الحل بدقة. افتح صفحة رسوم بيانية جديدة، واكتب الدالة $f_1(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+2} - 3$ ثم اضغط enter. اضغط على menu ثم اختر تحليل الرسم البياني ثم أصفر الدالة. اضغط على نقطة تقاطع التمثيل البياني مع المحور x ليظهر إحداثي صفر الدالة، فيكون الحل التقريبي هو 1.36.

أخطاء شائعة

• نسيان نقل جميع الحدود إلى طرف واحد عند الرغبة في استخدام خاصية أصفر الدالة.
• الخلط بين إحداثيات نقطة التقاطع x وإحداثيات y عند قراءة الحل النهائي للمتباينة.
• إدخال كتابة الرموز بشكل خاطئ في شاشة الحاسبة البيانية مثل نسيان كتابة الأقواس أو أقواس الجذور.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: استعمل طريقة التمثيل البياني لحل المعادلة $\sqrt{x+4} = 3$. الإجابة: بإدخال الدالة المرتبطة بعد جعل أحد طرفيها صفراً أو رسم الطرفين، نجد أن الحل هو x = 5. السؤال الثاني: استعمل طريقة التمثيل البياني لحل المتباينة $\sqrt{x-3} \ge 2$. الإجابة: باستخدام تقاطع المنحنيات أو الجداول البيانية، نجد أن حل المتباينة هو الفترة التي تحقق x \ge 7.