قانون الجاذبية وقوانين كبلر

يقوم الدرس على ربط حركة الأجرام السماوية بقوانين الفيزياء والرياضيات من خلال قوانين كبلر وقانون الجذب العام لنيوتن. يصف قانون كبلر الأول مدارات الكواكب بأنها قطع ناقص تقع الشمس في إحدى بؤرتيه، بينما ينص القانون الثاني على أن الخط الواصل بين الكوكب والشمس يرسم مساحات متساوية في أزمنة متساوية، ويربط القانون الثالث بين مربع زمن دورة الكوكب ومكعب نصف محورها الأكبر. أما قانون الجذب العام لنيوتن فيحدد قوة الجذب المتبادلة بين جسمين بتناسب طردي مع كتلتيهما وعكسي مع مربع المسافة بينهما. تُستخدم هذه القوانين لحساب السرعة المدارية وسرعة الهروب للأجرام. على سبيل المثال، لحساب سرعة هروب قمر صناعي من كوكب كتلته $7.5 \times 10^{22}\text{ kg}$ ونصف قطره $1.5 \times 10^6\text{ m}$، نطبق قانون سرعة الهروب $V_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ لنحصل على السرعة المطلوبة.

الفكرة الأساسية

تعتمد حركة الأجرام السماوية في الفضاء على مجموعة من القوانين الفيزيائية والميكانيكية التي تفسر دوران الكواكب حول الشمس وحركة الأقمار الصناعية والأجرام الأخرى. تقوم قوانين كبلر على وصف شكل وخصائص مسارات الأجرام، بينما يفسر قانون الجذب العام لنيوتن قوى التجاذب المتبادلة بين الكتل وتأثيرها على حركة الأجرام وسرعاتها.

الشرح

تبدأ الرحلة مع قانون كبلر الأول الذي ينص على أن الكواكب تدور حول الشمس في مدارات على شكل قطع ناقص تقع الشمس في إحدى بؤرتيه. القطع الناقص هو محل هندسي لمجموع البعدين عن نقطتين ثابتتين تساوي مقدارا ثابتا تسمى البؤرتين. يسمى نصف المحور الأكبر بالرمز $a$، ونصف المحور الأصغر بالرمز $b$، ويقاس الاختلاف المركزي بالرمز $e$ ويعبر عن تفلطح القطع بالعلاقة $e = \frac{CF}{a}$. تسمى أقرب مسافة بين الشمس والكوكب بالبعد الحضيضي $r_p$ وتحسب بالعلاقة $r_p = a(1 - e)$، وأبعد مسافة بالبعد الأوجي $r_a$ وتحسب بالعلاقة $r_a = a(1 + e)$.

يأتي قانون كبلر الثاني ليصرح بأن الخط الوهمي الواصل بين الكوكب والشمس يرسم مساحات متساوية في الفضاء في أزمنة متساوية. هذا يعني أن سرعة الكوكب متغيرة، وتصل أقصاها عند الحضيض وأدناها عند الأوج. أما قانون كبلر الثالث فينص على أن مربع مدة دورة الكوكب حول الشمس تناسب مع مكعب نصف طول المحور الأكبر لمداره، وتكتب بالصيغة $T^2 \propto a^3$. وعند قياس $T$ بالسنة النجمة $years$ و$a$ بالوحدة الفلكية $AU$ يصبح الثابت يساوي واحدا، فتصبح العلاقة $T^2 = a^3$.

في عام 1687 وضع إسحاق نيوتن قانون الجذب العام في كتابه $principia$، والذي ينص على أن قوة الجذب $F$ بين جسمين تتناسب طرديا مع كتلتيهما وعكسيا مع مربع المسافة بينهما، وتكتب بالصيغة $F = G \frac{Mm}{r^2}$، حيث $G$ هو ثابت الجذب الكوني. ومن هذا القانون يمكن إيجاد السرعة المدارية لجرم سماوي يدور حول جرم آخر، وكذلك سرعة الهروب $V_{esc}$ وهي السرعة اللازمة لجسم ما للدخول في مسار على شكل قطع مكافئ حول كوكب ما ثم الهروب من جاذبيته، وتحسب بالعلاقة $V_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.

مثال محلول خطوة بخطوة

أوجد سرعة الهروب لكوكب كتلته $7.5 \times 10^{22}\text{ kg}$ ونصف قطره $1.5 \times 10^6\text{ m}$، علما بأن ثابت الجذب العام $6.67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. تحليل المسألة ورسمها:

• المعلوم: $M = 7.5 \times 10^{22}\text{ kg}$ و $R = 1.5 \times 10^6\text{ m}$ و $G = 6.67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$
• المجهول: $V_{esc} = ?$

2. إيجاد الكمية المجهولة:

• حل قانون سرعة الهروب: $V_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

• بالتعويض لإيجاد سرعة الهروب للكوكب: $V_{esc} = \sqrt{\frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 7.5 \times 10^{22}}{1.5 \times 10^6}}$ $V_{esc} = 2.5\text{ km/s}$

أخطاء شائعة

• الخلط بين وحدة القياس للزمن والمسافة، مثل عدم تحويل الوحدات إلى السنة النجمة $years$ أو الوحدة الفلكية $AU$ عند تطبيق قانون كبلر الثالث.
• نسيان تربيع المسافة $r^2$ في المقام عند تطبيق قانون الجذب العام لنيوتن أو إهمال تعويض قيمة ثابت الجذب الكوني $G$.
• الخلط بين البعد الحضيضي $r_p$ والبعد الأوجي $r_a$ في حسابات السرعة المدارية والاعتقاد بأن سرعة الكوكب ثابتة في مداره الإهليلجي.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: احسب متوسط المسافة بين فيستا كويكب وبين الشمس علما بأنه يستغرق $3.63\text{ year}$ للدوران حول الشمس. الإجابة: باستخدام قانون كبلر الثالث $T^2 = a^3$، فإن $a = \sqrt[3]{T^2} = \sqrt[3]{(3.63)^2} = 2.36\text{ AU}$.

السؤال الثاني: ما هي سرعة الهروب اللازمة لجسم لكي يفلت من كوكب إذا علمت أن كتلة الكوكب $6 \times 10^{24}\text{ kg}$ ونصف قطره $6.38 \times 10^6\text{ m}$؟ الإجابة: بتطبيق قانون سرعة الهروب $V_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ والتعويض بالقيم المعطاة مع ثابت الجذب العام، تنتج سرعة الهروب المطلوبة للسطح.