الجبر: حل التناسبات

التناسب هو تساوي نسبتين أو معدلين. عندما تتساوى الكميات في معدل ثابت، نقول إنها متناسبة. لحل أي تناسب، نستخدم خاصية الضرب التبادلي، حيث نضرب بسط النسبة الأولى في مقام النسبة الثانية، ونساويه بضرب مقام الأولى في بسط الثانية، مما ينتج عنه معادلة تساعدنا في إيجاد القيمة المجهولة. مثلاً، إذا كان التناسب $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$، نجد أن حاصل ضرب $1 \times 6$ يساوي $2 \times 3$، وكلاهما يساوي 6. نستخدم هذه الطريقة لحل المسائل التي تتضمن قيماً مجهولة في مواقف حياتية، مثل معرفة تكلفة شراء كمية معينة من صنف ما بناءً على سعر كمية أخرى معلومة.

الفكرة الأساسية

التناسب هو أداة رياضية توضح تساوي نسبتين أو معدلين. نستخدمه للمقارنة بين كميتين أو لإيجاد قيمة مجهولة في مواقف تتغير فيها الأعداد بنفس النسبة أو المعدل.

الشرح

عندما تضع نسبتين بينهما علامة يساوي، مثل $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$، فإنك أمام تناسب. لكي نتأكد هل النسبتان متناسبتان أم لا، نستخدم الضرب التبادلي. انظر إلى هذا التناسب: $\frac{أ}{ب} = \frac{ج}{د}$. خاصية الضرب التبادلي تخبرنا أن $أ \times د$ يجب أن يساوي $ب \times ج$. هذان الناتج يسمى الضرب التبادلي. إذا تساويا، فالتناسب صحيح. وإذا احتجت لإيجاد عدد مجهول داخل التناسب، يمكنك استخدام هذا الضرب التبادلي نفسه لتكوين معادلة بسيطة ثم حلها.

مثال محلول خطوة بخطوة

لحل التناسب $\frac{21}{5} = \frac{ج}{5}$:

1. استخدم الضرب التبادلي: اضرب $21 \times 5$ واضرب $5 \times ج$.
2. النتيجة هي: $105 = 5 \times ج$.
3. اقسم الطرفين على 5 لعزل المتغير ج: $ج = \frac{105}{5}$.
4. الناتج: $ج = 21$.

أخطاء شائعة

أكثر الأخطاء شيوعاً هي نسيان ضرب طرف في بسط الطرف الآخر، أو عكس العملية بالقسمة بدلاً من الضرب في البداية. تأكد دائماً من ضرب البسط في المقام المقابل له في الجهة الأخرى، وليس ضرب المقامين أو البسطين معاً.

سؤالان للتدريب مع الإجابة

السؤال الأول: هل النسبتان $\frac{2}{6}$ و $\frac{4}{12}$ متناسبتان؟ الإجابة: نعم، لأن $2 \times 12 = 24$ و $6 \times 4 = 24$. السؤال الثاني: حل التناسب $\frac{2}{3} = \frac{ه}{6}$. الإجابة: باستعمال الضرب التبادلي $3 \times ه = 12$، إذن $ه = 4$.